Sylowin lauseet

Ryhmäteoriassa Sylowin lauseet ovat osittainen käänteistulos Lagrangen lauseelle. Ne takaavat, että äärellinen ryhmä $G$ sisältää tiettyjä p-ryhmiä ja kuvailevat niiden ominaisuuksia. Lauseet on nimetty kehittäjänsä, norjalaisen matemaatikon Ludwig Sylowin mukaan.

Sylowin lauseilla on lukuisia sovelluksia äärellisten ryhmien teoriassa, esimerkiksi tarkasteltaessa ryhmän ratkeavuutta tai yksinkertaisuutta. Hallin lauseet yleistävät Sylowin lauseita ratkeaville ryhmille.

Sylowin lauseet

Olkoon seuraavassa $G$ äärellinen ryhmä, jonka kertaluku on $p^{n}a,$ missä $p$ on alkuluku, $n\in {\mathbb{Z}}_{+}$ ja $p$ ei jaa lukua $a.$

Lause 1. Ryhmällä $G$ on kertalukua $p^l,$ missä $0\le l\le n,$ oleva aliryhmä.

Ryhmän $G$ Sylowin p-aliryhmäksi kutsutaan kertalukua $p^n$ olevia aliryhmiä. Ensimmäinen Sylowin lause takaa siis näiden aliryhmien olemassaolon.

Lause 2. Jos $H\le G$ on kertalukua $p^l,$ missä $0\le l\le n,$ oleva aliryhmä, niin on olemassa sellainen ryhmän $G$ Sylowin p-aliryhmä $P$ ja sellainen alkio $g\in G,$ että $g^{-1}Hg\le P.$ Erityisesti ryhmän $G$ Sylowin p-aliryhmät muodostavat konjugointiluokan.

Lisäksi toinen Sylowin lause takaa, että Sylowin p-aliryhmät ovat maksimaalisia p-aliryhmiä.

Lause 3. Jos $n_p$ on ryhmän $G$ Sylowin p-aliryhmien lukumäärä, niin

• $n_p=[G:N_G(P)]$, missä $P$ on ryhmän $G$ Sylowin p-aliryhmä, erityisesti $n_p$ jakaa tasan luvun $a$ ja
• $n_p\equiv 1(\mathrm{mod}p).$

Seurauksia

Sylowin ensimmäinen lause sisältää erikoistapauksenaan Cauchyn lauseen, jonka mukaan jos alkuluku $p$ jakaa äärellisen ryhmän kertaluvun, niin tällä ryhmällä on kertalukua $p$ oleva aliryhmä.

Koska funktio $f:G\to G,f(x)=g^{-1}xg$ on ryhmäisomorfia kaikilla $g\in G$, niin toisen lauseen suorana seurauksena ryhmän $G$ Sylowin p-aliryhmät ovat keskenään isomorfisia. Lisäksi äärellisellä ryhmällä on täsmälleen yksi Sylowin p-aliryhmä jos ja vain jos ryhmällä on normaali Sylowin p-aliryhmä.

Sylowin kolmatta lausetta voidaan käyttää monenlaisissa äärellisten ryhmien rakennetta tutkivissa tarkasteluissa, kunhan tiedetään jotain ryhmän kertaluvusta.

Esimerkki sovelluksesta

Olkoon $G$ äärellinen ryhmä, jonka kertaluku on kahden erisuuren alkuluvun $p$ ja $q$ tulo. Tällöin ryhmä $G$ ei ole yksinkertainen.

Voidaan olettaa, että $p>q$. Olkoon $n_p$ on ryhmän $G$ Sylowin p-aliryhmien lukumäärä. Kolmannen Sylowin lauseen nojalla luku $n_p$ jakaa alkuluvun $q.$ Jos $n_p=q,$ niin edelleen $q=n_p\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ eli alkuluku $p$ jakaa tasan luvun $q-1.$ Tämä on ristiriita oletuksen $p>q$ kanssa, joten täytää päteä $n_p=1.$ Täten ryhmän $G$ ainoa Sylowin p-aliryhmä on normaali. Täten ryhmä $G$ ei ole yksinkertainen.

Lähteet

• Malline:Kirjaviite