Senaarijärjestelmä

Kerto- ja yhteenlaskun tulokset senaarijärjestelmässä, kun käytetään lukuja vastaavina merkkeinä 0–5.

Senaarijärjestelmä (kuusijärjestelmä) on lukujärjestelmä, jonka kantaluku on 6. Lukujen esittämiseen käytetään numeroita 0–5. Kuusijärjestelmän lukuja merkitään alaindeksillä ₆.

Senaarijärjestelmän pieni kertotaulu

	2	3	4	5	10
2	4	10	12	14	20
3	10	13	20	23	30
4	12	20	24	32	40
5	14	23	32	41	50
10	20	30	40	50	100

Alkuluvut senaarijärjestelmässä

Kuusijärjestelmää sopii hyvin esimerkiksi alkulukujen tutkimiseen, koska kaikki alkuluvut, paitsi luvut 2 ja 3, päättyvät järjestelmässä joko numeroon 1 tai 5. Toisin sanoen, jos p on alkuluku, niin p ≡ 1 (mod 6) tai p ≡ 5 (mod 6).

Yllä oleva ominaisuus todistetaan kongruenssin ominaisuuksien perusteella. Nimittäin jos x ≡ a (mod n), niin x = k n + a, missä x, a, k, n ovat tiettyjä kokonaislukuja.

Tarkastellaan nyt alkulukua p modulo 6.

Ensinnäkin p ei ole parillinen. Näin ollen mikään ehdoista p ≡ 0 (mod 6), p ≡ 2 (mod 6) tai p ≡ 4 (mod 6) ei ole voimassa, koska muuten voisi esimerkiksi olla p = 6k + 4 = 2(3k + 2) jollain kokonaisluvulla k osittelulain nojalla.

Toisaalta tiedetään esimerkeistä, että on olemassa alkulukuja, jotka toteuttavat joko yhtälön p ≡ 1 (mod 6) tai p ≡ 5 (mod 6). Riittää siis tarkastella vielä tapausta p ≡ 3 (mod 6).

Jos p ≡ 3 (mod 6), niin p = 6k + 3 = 3(2k + 1) jollain k, jälleen osittelulain perusteella. Toisin sanoen, on olemassa alkuluku p, joka on jaollinen luvulla 3, joten p ei ole alkuluku. Tämä on ristiriita, joten oletuksen p ≡ 3 (mod 6) täytyy olla väärä ja alkuperäinen väite tosi. M.O.T.

Huomautettakoon, että kaikki senaarijärjestelmässä numeroihin 1 tai 5 päättyvät luvut eivät kuitenkaan ole alkulukuja. Esimerkiksi luku 25 = 41₆ on neliöluku, eikä siis alkuluku. Luku 7775 = 55555₆ on puolestaan jaollinen 25:llä, eikä sekään näin ollen ole alkuluku.

Murtoluvut

Murtolukujen vertailua kymmen- ja senaarijärjestelmissä

Murtoluku	Kymmenjärjestelmä	Senaarijärjestelmä
1:2	$0,5$	$0,3$
1:3	$0,\overline{3}$	$0,2$
1:4	$0,25$	$0,13$
1:5	$0,2$	$0,\overline{1}$
1:6	$0,1\overline{6}$	$0,1$
1:7	$0,\overline{142857}$	$0,\overline{05}$
1:8	$0,125$	$0,043$
1:9	$0,\overline{1}$	$0,04$
1:10	$0,1$	$0,0\overline{3}$
1:11	$0,\overline{09}$	$0,\overline{0313452421}$
1:12	$0,08\overline{3}$	$0,03$
1:13	$0,\overline{076923}$	$0,\overline{024340531215}$
1:14	$0,0\overline{714285}$	$0,0\overline{23}$
1:15	$0,0\overline{6}$	$0,0\overline{2}$
1:16	$0,0625$	$0,0213$