Ryhmänopeus

Dispersio syvän veden pinnalla etenevissä paino­voima-aalloissa. Kuvan punaiset neliöt (Malline:Colorbox) etenevät vaihe­nopeudella, vihreät kiekot (     ) ryhmä­nopeudella. Tässä syvän veden tapauksessa vaihe­nopeus on kaksi kertaa niin suuri kuin ryhmä­nopeus. Jokainen punainen neliö kohtaa kaksi vihreää kiekkoa kulkiessaan kuvan vasemmasta laidasta oikeaan.
Aaltoryhmän takana näyttää muodostuvan uusia aaltoja, joiden amplitudi kasvaa, kunnes ne ovat kuvan keskellä, minkä jälkeen ne häviävät ennen saapu­mistaan kuvan oikeaan laitaan.
Veden pinnalla etenevissä painovoima-aalloissa vesipisaroiden nopeudet nopeudet ovat useimmiten paljon pienempiä kuin aallon vaihe­nopeus.

Etenevä aaltopaketti, jossa vaihe­nopeus on suurempi kuin ryhmä­nopeus.

Aalto, jonka vaihe­nopeus on ryhmä­nopeuteen nähden vastakkais­suuntainen. Aalto­ryhmä etenee oikealle, mutta yksittäiset aallon­huiput vasemmalle, joten ryhmä­nopeus on positiivinen, mutta vaihe­nopeus negatiivinen.

Ryhmänopeus on aaltoliikkeessä se nopeus, jolla aallon vaihtelevien amplitudien muodostama aaltopaketti etenee avaruudessa. Amplitudin vaihtelua sanotaan myös modulaatioksi tai verhokäyräksi.

Esimerkiksi jos kivi heitetään keskelle hyvin tyyntä lammikkoa, sen ympärille muodostuu ympyränmuotoisia aaltoja, joista syntyvää muodostelmaa sanotaan myös kapillaariaalloksi. Tämä laajeneva aaltojen muodostama rengas on aaltoryhmä, mutta voidaan havaita erillisiä osa-aaltoja, joilla on eri aallonpituus ja jotka etenevät eri nopeuksilla. Lyhyemmät aallot etenevät nopeammin kuin aaltoryhmä kokonaisuudessaan, mutta niiden amplitudit vaimenevat ennen kuin ne saapuvat aaltoryhmän reunalle. Pidemmät aallot etenevät hitaammin, ja niiden amplitudit vaimenevat sitä mukaa kuin ne jäävät yhä enemmän jälkeen aaltoryhmän ulkolaidasta.

Määritelmä ja tulkinta

Määritelmä

Malline:Legend-line Malline:Legend-line

Ryhmänopeus v_g määritellään yhtälöllä:

$v_g\equiv \frac{\partial \omega }{\partial k}$

missä ω on aallon kulmataajuus (joka yleensä ilmoitetaan radiaaneina sekunnissa ja k sen aaltoluku (joka yleensä ilmoitetaan radiaaneina metriä kohti). Aallon vaihenopeus taas on

$v_p\equiv \frac{\omega }{k}$.

Funktiota ω(k), joka ilmoittaa kulmataajuuden ω aaltoluvun k funktiona, sanotaan dispersiorelaatioksi.

• Jos aaltoliikkeen kulmataajuus on suoraan verrannollinen aaltolukuun, aallon ryhmänopeus on yhtä suuri kuin sen vaihenopeus. Olipa tällainen aalto minkä muotoinen tahansa, se etenee sen muodon muuttumatta.
• Jos kulmataajuus ω on aaltoluvun k lineaarinen funktio, mutta nämä eivät ole suoraan verrannollisia vaan niiden riippuvuus on muotoa $\omega =ak+b$, aallon ryhmänopeus ja vaihenopeus poikkeavat toisistaan. Aaltopaketin verhokäyrä etenee ryhmänopeudella, mutta sen sisällä olevat yksittäiset aallonhuiput ja -pohjat vaihenopeudella.
• Jos aallon kulmataajuus ei ole sen aaltoluvun lineaarinen funktio, aaltopaketin verhokäyrä muuttaa muotoaan aallon edetessä. Koska aaltopaketti sisältää osa-aaltoja, joilla on eri taajuus ja sen mukaisesti myös eri suuri aaltoluku k, ryhmänopeus $\frac{\partial \omega }{\partial k}$ on eri suuri k:n eri arvoilla. Siksi verhokäyrä ei etene kauttaaltaan samalla nopeudella, vaan sen aaltolukukomponentit k etenevät eri nopeuksilla hajottaen verhokäyrän. Jos aaltopaketin kaikkien osa-aaltojen taajuudet ovat suppealla välillä ja tällä välillä ω(k) on likipitäen lineaarinen, pulssi muuttaa muotoaan vain vähän. (Tarkemmin jäljempänä kohdassa Korkeamman kertaluvun termit dispersiossa.) Esimerkiksi syvässä vedessä eteneville painovoima-aalloille pätee $\omega =\sqrt{gk}$ ja sen vuoksi $v_g=\frac{v_p}{2}$.

Esimerkki viimeksi mainitusta tapauksesta on Kelvinin vanavesimalli, joka pätee kaikkien laivojen ja muiden veden pinnalla etenevien kappaleiden taakse muodostuville aalloille. Nämä aallot muodostavat laivan tai muun kappaleen etenemissuuntaan nähden kummallekin puolelle aina arcsin(1/3):n eli 19.47°:n suuruisen kulman riippumatta laivan tai muun kappaleen nopeudesta, kunhan se on vakio.

Johto

Ryhmänopeuden lauseke voidaan johtaa esimerkiksi seuraavasti:

Tarkastellaan aaltopakettia paikan (x) ja ajan t funktiona: α(x,t).

Olkoon A(k) aaltopaketin α(x,t) Fourier-muunnos hetkellä t=0. Tällöin aaltopaketti α(x,0) saadaan muunnoksen A(k) käänteismuunnoksena:

$\alpha (x,0)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dkA(k)e^{ikx}.$

Superpositioperiaatteen mukaan aaltopaketti minä tahansa hetkenä t on

$\alpha (x,t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dkA(k)e^{i(kx-\omega t)},$

missä ω on implisiittisesti k:n funktio.

Oletetaan, että aaltopaketti α on lähes monokromaattinen, niin että käyrä A(k) muodostaa terävän piikin jonkin aaltoluvun k₀ ympärillä.

Silloin lineaarisella approksimaatiolla saadaan

$\omega (k)\approx {\omega }_0+(k-k_0)\omega {\text{'}}_0$

missä

${\omega }_0=\omega (k_0)$ and $\omega {\text{'}}_0={\frac{\partial \omega (k)}{\partial k}|}_{k=k_0}$

Tästä tarkemmin seuraavassa osiossa. Algebrallisesti voidaan osoittaa, että

$\alpha (x,t)=e^{i(k_{0}x-{\omega }_{0}t)}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dkA(k)e^{i(k-k_0)(x-\omega {\text{'}}_{0}t)}.$

Tässä lausekkeessa on kaksi tekijää. Ensimmäinen tekijä, $e^{i(k_{0}x-{\omega }_{0}t)}$, esittää täydellistä monokromaattista aaltoa, jonka aaltovektori on k₀ ja jonka aallonhuiput ja -pohjat etenevät vaihenopeudella ${\omega }_0/k_0$ aaltopaketin verhokäyrän sisällä.

Toinen tekijä,

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dkA(k)e^{i(k-k_0)(x-\omega {\text{'}}_{0}t)}$,

antaa aaltopaketin verhokäyrän. Tämä verhofunktio ei riipu erikseen paikasta ja ajasta vaan ainoastaan niiden yhdistelmänä muodostettavan lausekkeen $(x-\omega {\text{'}}_{0}t)$ arvosta.

Siksi aaltopaketin verhokäyrä liikkuu nopeudella

$\omega {\text{'}}_0={\frac{d\omega }{dk}|}_{k=k_0},$

mikä selittää ryhmänopeuden kaavan.

Korkeamman kertaluvun termit dispersiossa

Aaltopakettien hajoaminen korkeamman kertaluvun dispersioilmiöiden vaikutuksesta pintapainovoima-aalloilla syvässä vedessä (jossa v(g) = ½v_p).
Esimerkkinä oleva aalto on saatu yhdistelmänä kolmesta osa-aallosta, joiden aallonpituudet sisältyvät 22, 25 ja 29 kertaa jaksolliseen 2 kilometrin pituiseen alueeseen ja joiden amplitudit ovat vastaavasti 1, 2 ja 1 metriä.

Edellä ryhmänopeuden lauseke johdettiin olettamalla, että

$\omega (k)\approx {\omega }_0+(k-k_0)\omega {\text{'}}_0(k_0)$

Tämä likiarvo voidaan perustella funktion Taylorin sarjan avulla, kun arvot k ja k₀ ovat tarpeeksi lähellä toisiaan. Jos aaltopaketissa kuitenkin esiintyy suuresti toisistaan poikkeavia taajuuksia tai jos dispersiolla ω(k) esiintyy teräviä vaihteluja esimerksi resonanssin vuoksi tai jos aaltopaketti kulkee hyvin pitkän matkan, tämä likiarvo ei enää päde vaan funktion Taylorin sarjakehitelmän korkeammatkin termit ovat merkittäviä.

Seurauksena on, että aaltopaketin verhokäyrä ei ainoastaan liiku vaan myös muuttaa muotoaan tavalla, jota voidaan kuvailla väliaineen ryhmänopeusdispersiolla. Hieman yksinkertaistaen tämän voidaan sanoa merkitsevän, että aaltopaketin eri taajuuskomponentit etenevät eri nopeuksilla, jolloin nopeammat komponentit lähestyvät aaltopaketin etureunaa, hitaammat sen takareunaa. Lopulta aaltopaketti venyy hajalle. Tällä ilmiöllä on suuri merkitys, kun tietoa siirretään optisten kuitujen avulla, sekä suuritehoisissa, lyhyitä pulsseja käyttävissä lasereissa.

Historia

Ajatuksen, että aaltolikkeellä on vaihenopeudesta erotettava ryhmänopeus, esitti ensimmäisenä W.R. Hamilton vuonna 1839. Yksityiskohtaisemmin asiaa käsitteli ensimmäisenä lordi Rayleigh teoksessaan Theory of Sound vuonna 1877.

Muita lausekkeita

Valon tapauksessa väliaineen taitekertoimen (n) sekä valon aallonpituudet tyhjiössä (λ₀) ja väliaineessa (λ) liittyvät toisiinsa yhtälön

${\lambda }_0=\frac{2\pi c}{\omega },\lambda =\frac{2\pi }{k}=\frac{2\pi v_p}{\omega },n=\frac{c}{v_p}=\frac{{\lambda }_0}{\lambda },$

mukaisesti, missä v_p = ω/k on valon vaihenopeus.

Niinpä valon ryhmänopeus voidaan laskea millä tahansa seuraavista kaavoista:

$\begin{array}{cc}{v}_g& =\frac{c}{n+\omega \frac{\partial n}{\partial \omega }}=\frac{c}{n-{\lambda }_0\frac{\partial n}{\partial {\lambda }_0}}\\ & =v_p(1+\frac{\lambda }{n}\frac{\partial n}{\partial \lambda })=v_p-\lambda \frac{\partial v_p}{\partial \lambda }=v_p+k\frac{\partial v_p}{\partial k}.\end{array}$

Kolmessa ulottuvuudessa

Malline:Katso myös Kolmessa ulottuvuudessa eteneville aalloille kuten valo-, ääni- ja aineaalloille vaihe- ja ryhmänopeuksien lausekkeet voidaan yleistää seuraavalla tavalla:

Yhdessä ulottuvuudessa: $v_p=\omega /k,v_g=\frac{\partial \omega }{\partial k},$

Kolmessa ulottuvuudessa: ${𝐯}_p=\widehat{𝐤}\frac{\omega }{|𝐤|},{𝐯}_g={\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}_{𝐤}\omega$

missä

${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}_{𝐤}\omega$

tarkoittaa kulmataajuuden ω gradienttia aaltovektorin $𝐤$ funktiona ja $\widehat{𝐤}$ on k:n suuntainen yksikkövektori.

Jos aallot etenevät anisotrooppisessa väliaineessa, jonka ominaisuudet eivät ole samat kaikkiin suuntiin, esimerkiksi kiteessä, vaihenopeusvektori ja ryhmänopeusvektori eivät välttämättä ole yhdensuuntaiset.

Häviöllisessä tai aaltoa vahvistavassa väliaineessa

Ryhmänopeuden ajatellaan usein olevan se nopeus, jolla energia ja informaatio siirtyvät aallon mukana. Useimmissa tapauksissa näin onkin, ja ryhmänopeutta voidaan pitää aallon signaalinopeudella. Jos aalto kuitenkin etenee väliaineessa, jossa osa siitä absorboituu tai jossa se edetessään vahvistuu, tämä ei aina pidä paikkaansa. Näissä tapauksissa ryhmänopeus ei aina edes ole hyvin määritelty tai mielekäs suure.

Kirjassaan “Wave Propagation in Periodic Structures”, Brillouin väitti, että häviöllisessä väliaineessa ryhmänopeudella ei ole selvää fysikaalista merkitystä. Yksi esimerkki tästä on Loudonin kuvaama sähkömagneettisten aaltojen kulku atomikaasun läpi. Toisen esimerkin muodostavat mekaaniset aallot Auringon fotosfäärissä: aallonhuipuista aallonpohjiin säteilevä lämpö vaimentaa nämä aallot, ja energian siirtonopeus on usein paljon pienempi kuin aaltojen ryhmänopeus.

Tästä epäselvyydestä huolimatta yleinen tapa laajentaa ryhmänopeuden käsitettä monimutkaisiin väliaineisiin on käsitellä avaruudellisesti vaimenevia tasoaaltoratkaisuja väliaineen sisällä. Niitä luonnehtii tällöin kompleksiarvoinen aaltovektori. Tällöin aaltovektorin imaginaariosa jätetään huomioon ottamatta ja ryhmänopeuden tavanomaista lauseketta käytetään aaltovektorin reaaliosalle, toisin sanoen,

$v_g={\left(\frac{\partial (\mathrm{Re}k)}{\partial \omega }\right)}^{-1}.$

Yhtäpitävästi kompleksisen taitekertoimen reaaliosaa n = n+i'κ käyttämällä saadaan:

$\frac{c}{v_g}=n+\omega \frac{\partial n}{\partial \omega }.$

Voidaan osoittaa, että tämä ryhmänopeuden yleistys edelleen liittyy aaltopaketin huipun näennäiseen nopeuteen. Edellä oleva määritelmä ei kuitenkaan ole ainoa mahdollinen: vaihtoehtoisesti voidaan tarkastella seisovien aaltojen (reaalinen k, kompleksinen ω) ajallista vaimenemista tai sallia, että ryhmänopeus on kompleksiarvoinen suure. Nämä eri tavoin määritellyt ryhmänopeudet voivat samallakin aallolla olla eri suuret, mutta kun väliaineessa ei esiinny häviöitä eikä synny uusia aaltoja, ne kaikki johtavat yhtäpitävästi samaan tulokseen.

Nämä ryhmänopeuden yleistykset monimutkaisille väliaineille voivat käyttäytyä oudosti, mitä hyvin havainnollistaa anomaalisen dispersion esimerkki. Sen alueen rajalla, missä dispersio on anomaalinen, ryhmänopeus $v_g$ on ääretön (ja ylittää siten jopa valon nopeuden tyhjiössä, ja anomaalisen dispersion alueen sisällä ryhmänopeus voi olla myös negatiivinen (sen etumerkki on päinvastainen kuin k:n reaaliosan).

Valonnopeuden ylittävät ryhmänopeudet

Monet kokeet ovat 1980-luvulta lähtien vahvistaneet, että laserin valopulssien edellä esitetyllä tavalla määritelty ryhmänopeus häviöllisissä tai aaltoa vahvistavassa väliaineessa voi olla merkittävästi suurempi kuin valon nopeus tyhjiössä, c. Myös aaltopakettien aallonhuiput etenevät valonnopeutta suuremmalla nopeudella.

Tämä ei kuitenkaan mahdollista valoa nopeampia signaaleja, sillä ryhmänopeuden suuri arvo ei kiihdytä terävän aaltorintaman todellista liikettä, joka esiintyy jokaisen todellisen signaalin alussa. Oleellisesti tämä valonnopeutta suurempi ryhmänopeus on vain laskennallinen suure, joka liittyy siihen, miten ryhmänopeus on edellä määritelty, ja saa näin suuren arvon väliaineessa esiintyvien resonanssi-ilmiöiden vuoksi. Laajassa vyöanalyysissä nähdään, että tämä näennäisesti paradoksaalinen signaalin verhokäyrän etenemisnopeus johtuu itse asiassa laajemman taajuusalueen paikallisisista interferensseistä monella kierroksella, jotka kaikki etenevät täysin suhteellisuusteorian kausaliteettiperiaatteen mukaisesti vaihenopeudella. Tulos on verrattavissa siihen, että varjo voi siirtyä valoa nopeammin, vaikka sen aikaansaava valo aina liikkuu normaalilla valonnopeudella; koska mitattu ilmiö liittyy vain epäsuorasti kausaliteettiin, se ei välttämättä noudata suhteellisuusteorian kausaliteettiperiaatetta, vaikka se normaaleissa olosuhteissa niin tekeekin.

Katso myös

• Vaihenopeus
• Dispersio
• Tšerenkovin säteily

Aiheesta muualla

• Malline:Verkkoviite
• Malline:Verkkoviite