Ruusukäyrä

Yhtälön $r = \cos k θ$ määrittämiä ruusukäyriä vakion k=n/d eri arvoilla

Ruusukäyrä^[1] eli Grandin ruusu^[2] (Malline:K-en tai Rhodonea) on matematiikassa käyrä, jota voidaan pitää sinifunktion kuvaajana napakoordinaatistossa.

Yleiskuvaus

Jokainen ruusukäyrä on yhdenmuotoinen sellaisen käyrän kanssa, jonka yhtälö napakoordinaateissa on muotoa

r = a \cos (k θ)

^[3]

tai vaihtoehtoisesti

r = a \sin (k θ)

^[4].

Karteesisessa koordinaatistossa käyrä voidaan edellisessä tapauksessa esittää yhtälöparilla : $x = a \cos (k θ) \cos (θ)$

y = a \cos (k θ) \sin (θ)

.

Nimi ruusukäyrä johtuu siitä, että käyrä tyypillisesti muistuttaa muodoltaan ruusun teriötä.^[4] Jos k on kokonaisluku, tällä käyrän kuvaamalla ruusulla on

2k terälehteä, jos k on parillinen, ja
k terälehteä, jos k on pariton.

Vakio a osoittaa terälehtien pituuden.

Kun k on parillinen, koko käyrä tulee piirretyksi tasan kerran, kun kulma θ kasvaa 0:sta 2π:hin. Kun k on pariton, tämä tapahtuu jo välillä 0:sta π:hin. Yleisemmin sama tapahtuu millä tahansa välillä, jonka pituus on 2π, kun k on parillinen, tai π, jos k on pariton.

Jos k on puoliluku (esimerkiksi 1/2, 3/2 tai 5/2), käyrä muistuttaa ruusua, jolla on 4k terälehteä. Esimerkiksi: n=7, d=2, k= n/d =3,5, kun θ kasvaa 0:sta 4π:hin.

Jos k voidaan esittää muodossa n±1/6, missä n on nollasta poikkeava kokonaisluku, käyrä muistuttaa ruusua, jolla on 12k terälehteä.

Jos k voidaan esittää muodossa n/3, missä n on kokonaisluku, joka ei ole jaollinen kolmella, käyrä muistuttaa muodoltaan ruusua, jolla on n terälehteä, jos n on pariton, ja 2n terälehteä, jos n on parillinen.

Jos k on rationaaliluku, käyrä on suljettu, ja sillä on äärellinen pituus. Ellei k ole kokonaisluku, terälehdet saattavat olla osittain päällekkäin.^[1] Jos k on irrationaaliluku, käyrä ei ole suljettu, ja sen pituus on ääretön.^[5] Tässä tapauksessa käyrä on lisäksi tiheä, toisin sanoen se sivuuttaa yksikkökiekon jokaisen pisteen mielivaltaisen läheltä.

Koska

\sin (k θ) = \cos (k θ - \frac{π}{2}) = \cos (k (θ - \frac{π}{2 k}))

kaikilla $θ$ , käyrät, joiden yhtälöt napakoordinaateissa ovat

r = \sin (k θ)

and

r = \cos (k θ)

ovat yhtenevät ja voidaan kuvata toisilleen π/2k radiaanin rotaatiolla.

Ruusukäyrille antoi nimen italialainen matemaatikko Guido Grandi vuosien 1723 ja 1728 välillä.^[4]

Eräs ruusukäyrän erikoistapaus on neliapilan muotoinen käyrä, jolla k = 2. Sillä on karteesisissa koordinaateissa myös yhtälö

(x^{2} + y^{2})^{3} = 4 a^{2} x^{2} y^{2}

^[2]

Pinta-ala

Ruusukäyrän

r = a \cos (k θ)

,

sisään jäävän alueen eli terälehtien yhteenlaskettu pinta-ala on

\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} (a \cos (k θ))^{2} d θ = \frac{a^{2}}{2} (π + \frac{\sin (4 k π)}{4 k}) = \frac{π a^{2}}{2}

jos k on parillinen, ja

\frac{1}{2} \int_{0}^{π} (a \cos (k θ))^{2} d θ = \frac{a^{2}}{2} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (2 k π)}{4 k}) = \frac{π a^{2}}{4}

jos k on pariton positiivinen kokonaisluku.

Sama pätee ruusukäyrille, joiden yhtälö napakoordinaateissa on

r = a \sin (k θ)

sillä tämän yhtälön kuvaaja saadaan kosinin avulla määritellystä ruusukäyrästä yksinkertaisella rotaatiolla.

Muodon riippuvuus parametrista k

Ruusukäyrän napakoordinaateissa esitetyssä yhtälössä esiintyy vakiotekijä k. Kun k on kokonaisluku, käyrä muodostaa muodoltaan kukkaa. Sillä on k terälehteä, jos k on pariton, ja 2k terälehteä, jos k on parillinen. Sen sijaan millään vakion k arvolla ei saada aikaan sellaista kukkaa, jossa terälehtien lukumäärä on parillinen mutta ei neljällä jaollinen (esimerkiksi 2, 6, 10 tai 14).^[1]

Kun d on alkuluku, on n/d supistumaton murtoluku. Kun ruusukäyrän yhtälössä oleva k on tällainen murtoluku, käyrän terälehden ovat osittain päällekkäin. Niiden terälehtien lukumäärä, joiden kanssa kukin niistä on osittain päällekkäin, on yhtä suuri kuin järjestysluku, joka ilmoittaa, kuinka mones alkuluku d on alkulukujen jonossa, kun luku 1 lasketaan mukaan (esimerkiksi kun d on 2, tämä luku on 2, ja vastaavasti alkulukuja 3, 5 ja 7 vastaavat lukumäärät 3, 4 ja 5).

Kun k on muotoa k = 1/d, missä d on parillinen, käyrä muodostaa sarjan sisäkkäisiä silmukoita, ja keskellä on kaksi pienintä silmukkaa, jotka sivuavat toisiaa origossa. Käyrä on symmetrinen x-akselin suhteen. Jos taas d on pariton, käyrä muodostaa d div 2 sisäkkäistä silmukkaa, joista pienin sivuaa origoa joko vasemmalla (kun d on muotoa d = 4n − 1) tai oikealla ((kun d on muotoa d = 4n + 1).0