Rieszin esityslause

Malline:LähteetönFunktionaalianalyysissä on useita variaatioita Rieszin esityslauseesta. Alkuperäisen tuloksen funktioavaruudessa $𝒞(0,1)$ todisti unkarilainen matemaatikko Frigyes Riesz vuonna 1909 artikkelissaan Sur les opérations fonctionnelles linéaires

Yksinkertaisimmillaan Rieszin esityslause sanoo, että jokainen Hilbertin avaruus on oma duaalinsa: $\mathscr{H}={\mathscr{H}}^{*}.$ Tarkemmin sanottuna ne ovat isometrisesti isomorfiset. Lause voidaan yleistää myös Banachin avaruuksille.

Hilbertin avaruudessa

Olkoon $\mathscr{H}$ Hilbertin avaruus, ${\mathscr{H}}^{*}=\{f:\mathscr{H}\to 𝕂,f\text{ lineaarinen}\}$ sen (jatkuva) duaaliavaruus (ja skalaarikunta $𝕂=ℝ$ tai $ℂ$).

Tällöin jokaista funktionaalia $f\in {\mathscr{H}}^{*}$ vastaa yksikäsitteinen $y\in \mathscr{H}$, jolla pätee $f(x)=⟨x,y⟩$ kaikilla $x\in \mathscr{H}$. Vastaavasti kaikilla $y\in \mathscr{H}$, kuvaus $x\mapsto ⟨x,y⟩$ on jatkuva funktionaali.

Lineaaristen funktionaalien esityslause C_c(X):ssä

Seuraava lause esittää positiivisia lineaarisia funktionaaleja C_c(X):ssä, kompaktissa joukossa jatkuvia komleksifunktioita. Borelin joukko viittaa σ-algebraan, jonka virittää avoimet joukot.

Epänegatiivinen additiivinen Borelin mitta μ lokaalisti kompaktissa Hausdorffin avaruudessa X on säännöllinen jos ja vain jos

• μ(K) < ∞ kaikilla kompakteilla joukoilla K;

• Kaikilla Borel-joukoilla E,

$\mu (E)=\inf \{\mu (U):E\subseteq U,U\text{ avoin}\}$

• Ehto

$\mu (E)=\sup \{\mu (K):K\subseteq E,K\text{ kompakti}\}$

on voimassa kun E on avoin tai E on Borel ja μ(E) < ∞.

Lause. Olkoon X lokaalisti kompakti Hausdorffin avaruus. Kaikille joukossa C_c(X) määritellyille positiivisille lineaarisille funktionaaleille ψ on olemassa yksikäsitteinen Borel-säännöllinen mitta μ X:ssä, jolle

$\psi (f)=\underset{X}{\int }f(x)d\mu (x)$

kaikilla C_c(X)-funktioilla f.

Aiheesta muualla

• Bachman, Narici: Functional analysis