Reunanylityslause

Reunanylityslause on topologiaan liittyvä seuraava tulos: Olkoon $X$ topologinen avaruus, osajoukko $E\subset X$ yhtenäinen ja $A\subset X$. Jos $E$ kohtaa sekä $A$:n että $X\setminus A$:n, niin $E$ kohtaa myös $A$:n reunan $\partial A$.

Todistus

Merkitään $U=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}A$ ja $V=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}A$. Jos $E\cap \partial A=\mathrm{\varnothing }$, niin $E\subset U\cup V$. Sisäpisteen ja ulkopisteen määritelmästä seuraa $U\cap V\cap E=\mathrm{\varnothing }$ ja oletuksista seuraa $U\cap E\ne \mathrm{\varnothing }\ne V\cap E$. Nyt $E=(U\cap E)\cup (V\cap E)$. Koska joukot $U\cap E$ ja $V\cap E$ ovat erillisiä, epätyhjiä ja $E$:ssä avoimia, niin $E$ on epäyhtenäinen. Tämä on ristiriita oletusten kanssa, joten täytyy päteä $E\cap \partial A\ne \mathrm{\varnothing }$.

Vaihtoehtoinen todistus:

Tehdään vastaoletus: joukko $E$ ei kohtaa joukon $A$ reunaa. Täten

$E\cap \partial A=E\cap (\bar{A}\setminus \mathrm{int}A)=E\cap \bar{A}\cap \complement \mathrm{int}A=\mathrm{\varnothing }.$

Olkoon

$B=E\cup A\ne \mathrm{\varnothing }\text{ja}C=E\cup \complement A\ne \mathrm{\varnothing }.$

Tällöin $B\cup C=E$.

Nyt vastaoletuksen, sulkeuman määritelmän ja säännön $\complement A\subset \complement \mathrm{int}A$ nojalla

$\begin{array}{cc}B\cap \bar{C}& =(E\cap A)\cap (\overline{E\cap \complement A})=E\cap A\cap \bar{E}\cap \overline{\complement A}=E\cap A\cap \complement \mathrm{int}A\\ & =\mathrm{\varnothing }\text{ja}\\ \bar{B}\cap C& =(\overline{E\cap A})\cap (E\cap \complement A)=\bar{E}\cap \bar{A}\cap E\cap \complement A=E\cap \bar{A}\cap \complement A\\ & =\mathrm{\varnothing }.\end{array}$

Täten joukko $E$ separoituu, joten se ei ole yhtenäinen. Ollaan päädytty ristiriitaan. Täten alkuperäinen väite on tosi. $◻$