Polku (topologia)

Polkuyhtenäinen avaruus (vihreällä) ja kaksi polun yhdistämää pistettä.

Polku on topologian käsite, joka kuvaa yhteyttä kahden pisteen välillä jossakin topologisessa avaruudessa. Täsmällisemmin määriteltynä polku pisteestä $a$ pisteeseen $b$ avaruudessa $S$ on sellainen jatkuva kuvaus

$f:[0,1]\to S,$

että $f(0)=a$ ja $f(1)=b$. Tällöin $a$ on polun alkupiste, $b$ on sen loppupiste, ja polku yhdistää pisteet $a$ ja $b$.

Intuitiivisesti voi ajatella, että polkufunktion argumentti on aikakoordinaatti $t$, ja funktio kuvaa pisteen $f(t)$ liikkumista käyrää pitkin ajan kuluessa. Alkuhetkellä $t=0$ piste on polun alkupisteessä $f(0)$, ja liikkuu sitten jotakin käyrää (polkufunktion kuvajoukkoa) pitkin jatkuvasti, ilman hyppäyksiä, kunnes loppuhetkellä $t=1$ se on polun loppupisteessä $f(1)$.

Koska reaalilukuväli $[0,1]$ on yhtenäinen, niin jatkuva kuvaus $f$ kuvaa sen yhtenäiseksi joukoksi maaliavaruudessa $S$. Niinpä polun yhdistämät pisteet kuuluvat samaan yhtenäiseen komponenttiin (intuitiivisesti: yhtenäinen aliavaruus ei voi ulottua epäyhtenäisessä avaruudessa olevan ”aukon” yli). Topologinen avaruus on polkuyhtenäinen, jos sen minkä tahansa kahden pisteen välillä on olemassa polku. Topologian perustuloksiin kuuluu, että jos avaruus on polkuyhtenäinen, niin se on myös yhtenäinen. Käänteinen ei päde: on olemassa yhtenäisiä avaruuksia, jotka eivät kuitenkaan ole polkuyhtenäisiä. Klassinen esimerkki on topologin sinikäyrä.