Poincarén epäyhtälö

Poincarén epäyhtälö on syntynyt Sobolev-avaruuksien teorian tuloksena ja nimetty ranskalaisen matemaatikon Henri Poincarén mukaan. Epäyhtälön avulla voidaan selvittää funktion rajat käyttämällä sen derivaattojen rajoja ja määrittelyjoukon geometriaa. Mainitut rajat ovat erittäin merkittäviä nykyaikaisen variaatiolaskennan menetelmissä.

Epäyhtälön määritelmä

Oletetaan, että $1\le p\le \mathrm{\infty }$, $\mathrm{\Omega }$ on prekompakti joukon ${ℝ}^n$ avoin osajoukko Lipschitzin reunalla (so. $\mathrm{\Omega }$ on avoin, rajoitettu Lipschitz-joukko). Silloin on olemassa vakio $C>0$ riippuen ainoastaan $\mathrm{\Omega }$:sta ja $p$:stä siten, että kaikille $u\in W^{1,p}(\mathrm{\Omega })$

$\Vert u-u_{\mathrm{\Omega }}{\Vert }_{L^p(\mathrm{\Omega })}\le C\Vert \mathrm{\nabla }u{\Vert }_{L^p(\mathrm{\Omega })},$

missä

$u_{\mathrm{\Omega }}=\frac{1}{|\mathrm{\Omega }|}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }u(y)\mathrm{d}y$

on keskiarvo $u$ yli $\mathrm{\Omega }$:n.