Paulin matriisit

Paulin matriisit ovat Wolfgang Paulin mukaisesti nimettyjä hermiittisiä ja unitaarisia $2\times 2$-matriiseja. Paulin matriiseja voidaan käyttää kuvaamaan fysikaalista suuretta, jolla on kaksi mahdollista arvoa. Pauli loikin matriisit kuvatakseen elektronin spiniä, joka siis voi saada kaksi eri arvoa: +½ tai -½.

Paulin matriisit esitetään muodossa

${\hat{\sigma }}_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

${\hat{\sigma }}_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)$

${\hat{\sigma }}_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),$

missä $i$ on imaginaariyksikkö. Yllä olevien matriisien avulla voidaan kirjoittaa spin muodossa $\overrightarrow{S}=\frac{\hslash }{2}\hat{\sigma }$.

Paulin matriisien ominaisuuksia

Paulin matriiseille pätee relaatio

${\hat{\sigma }}_x^2={\hat{\sigma }}_y^2={\hat{\sigma }}_z^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$,

eli matriisien neliöt ovat yksikkömatriiseja.

Paulin matriisit kommutoivat seuraavasti:

$[{\hat{\sigma }}_x,{\hat{\sigma }}_y]=2i{\hat{\sigma }}_z$

$[{\hat{\sigma }}_y,{\hat{\sigma }}_z]=2i{\hat{\sigma }}_x$

$[{\hat{\sigma }}_z,{\hat{\sigma }}_x]=2i{\hat{\sigma }}_y$.