Otoshajonta

Otoshajonta eli otoskeskihajonta $s$ on otosvarianssin $s^2$ neliöjuuri, missä

$s^2=\sum _{i=1}^n\frac{(x_i-\bar{x}{)}^2}{n-1}$

ja

$\bar{x}=\sum _{i=1}^n\frac{x_i}{n}$

on tutkittavan muuttujan $x$ otoskeskiarvo.

Kun luvut $x_1,x_2,\dots ,x_n$ ovat satunnainen otos isommasta joukosta X, $s$ on harhaton estimaatti joukon X keskihajonnasta. Intuitiivisesti tämä selittyy sillä, että otoskeskiarvo $\bar{x}$ poikkeaa joukon X todellisesta keskiarvosta otoksen suuntaan, mikä tuottaisi keskihajonnan ($s^2$ yllä) kaavaan liian pienen osoittajan, mutta yhdellä pienennetty nimittäjä kompensoi tämän harhan. Jos käytettävissä olisi joukon X todellinen keskiarvo, nimittäjässä pitäisi olla n kuten yleensäkin keskihajonnan kaavassa.

Otosvarianssin harhattomuus

Todistus

Tiedetään, että satunnaismuuttujan varianssi $\mathrm{Var}(x_i)={\sigma }^2=𝔼[x_i^2]-(𝔼[x_i]{)}^2=$ $𝔼[x_i^2]-{\mu }^2⟺𝔼[x_i^2]={\sigma }^2+{\mu }^2$ ja että otoksen keskiarvon varianssi $\mathrm{Var}(\overline{x})=\frac{{\sigma }^2}{n}=𝔼[{\overline{x}}^2]-(𝔼[\overline{x}]{)}^2=$ $𝔼[{\overline{x}}^2]-{\mu }^2⟺𝔼[{\overline{x}}^2]=\frac{{\sigma }^2}{n}+{\mu }^2$, missä $n$ on otoskoko.

$𝔼[s^2]=𝔼\left[\sum _{i=i}^n\frac{(x_i-\overline{x}{)}^2}{n-1}\right]=\frac{1}{n-1}𝔼[\sum _{i=i}^n(x_i^2-2x_i\overline{x}+{\overline{x}}^2)]=$

$\frac{1}{n-1}𝔼[\sum _{i=i}^n(x_i^2)-\sum _{i=i}^n(2x_i\overline{x})+\sum _{i=i}^n({\overline{x}}^2)]=$

$\frac{1}{n-1}𝔼[\sum _{i=i}^n(x_i^2)-2\overline{x}\sum _{i=i}^n(x_i)+\sum _{i=i}^n({\overline{x}}^2)]=$

$\frac{1}{n-1}𝔼[\sum _{i=i}^n(x_i^2)-2n{\overline{x}}^2+\sum _{i=i}^n({\overline{x}}^2)]=$

$\frac{1}{n-1}(n𝔼[x_i^2]-2n𝔼[{\overline{x}}^2]+n𝔼[{\overline{x}}^2])=$

$\frac{1}{n-1}(n𝔼[x_i^2]-n𝔼[{\overline{x}}^2])=$

$\frac{1}{n-1}(n({\sigma }^2+{\mu }^2)-n(\frac{{\sigma }^2}{n}+{\mu }^2))=$

$\frac{1}{n-1}(n{\sigma }^2+n{\mu }^2-{\sigma }^2-n{\mu }^2))=$

$\frac{1}{n-1}(n-1){\sigma }^2={\sigma }^2$

Siis otosvarianssin odotusarvo on sama kuin satunnaismuuttujan varianssi, joten otosvarianssi on harhaton estimaatti.

Katso myös

• Hajontaluku