Osittaisfunktio

Osittaisfunktio on funktion $f:A\to B$ yleistys, joka liittää jokaiseen lähtöjoukon $A$ alkioon $a$ enintään yhden maalijoukon $B$ alkion, jota merkitään $f(a)$, jos tämä $a$:n liitettävä alkio on olemassa. Kyseessä on siis tavallisen funktion yleistys, sillä tavallinen funktio liittää jokaiseen joukon $A$ alkioon $a$ tarkalleen yhden joukon $B$ alkion $f(a)$, mutta funktion osittaisuus sallii sen, että joillakin $A$:n alkioilla $a$ tällaista siihen $f$-liitettävää $B$-joukon alkiota ei ole. ("liitettäviä on nyt yhden sijaan nolla kappaletta.") Tällaisilla alkioilla $a$ sanotaan, että $f(a)$ ei ole määritelty, ja toisinaan tämä ilmoitetaan merkinnällä

$𝐟(a)=\uparrow$.

Niitä joukon $A$ alkioita, joilla $f(a)$ on määritelty, kutsutaan yhdessä funktion $f$ määrittelyjoukoksi, jota voidaan merkitä esimerkiksi symbolilla $A^{\text{'}}$. Tavallisilla funktioilla $A^{\text{'}}=A$ eli määrittelyjoukko ja lähtöjoukko yhtyvät, mutta yleensä $A^{\text{'}}\subset A$ eli määrittelyjoukko on pienempi ja sallittua on myös sekin, että $A^{\text{'}}=\mathrm{\varnothing }$ eli $f(a)$ ei ole määritelty missään joukon $A$ pisteessä.

Esimerkkejä

1)

Funktio $f:\{a,b,c,d\}\to \{x,y,z\}$, joka on määritelty niin, että $f(a)=\uparrow ,f(b)=x,f(c)=z$ ja $f(d)=\uparrow$ eli arvoilla $a$ ja $d$ funktio $f$ ei ole määritelty.

2)

Funktio $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$, missä $f(n)=\sqrt{n}$, on määritelty tarkalleen silloin, kun $n$ on neliö eli kuuluu joukkoon $\{0^2,1^2,2^2,3^2,4^2,5^2,\cdots \}$, sillä tarkalleen tällöin neliöjuuri kuuluu luonnollisten lukujen joukkoon, joka on nyt otettu maalijoukoksi.

3)

Laskennan teoriassa funktioita lasketaan Turingin koneella niin, että syötteellä $n$ kone suoritettuaan äärellisen määrän laskenta-askelia kirjoittaa tulosteen, joka määritellään käytetyn Turingin koneen määräämän funktion $f(n)$-arvoksi. Kuitenkin useilla Turingin koneilla käy niin, että joillakin syötteillä alkanut laskenta ei pysähdy koskaan, tuloste jää näin saamatta ja $f(n)$ jää siis määrittelemättömäksi kyseisellä koneella näillä syötteillä.