Operaation suhteen suljettu joukko

Lukujoukko on suljettu operaation suhteen, jos n-muuttujan operaatio eli funktio $f$, jonka muuttujat saadaan samasta joukosta $S$, antaa tulokseksi luvun, joka myös kuuluu joukkoon $S.$ Tämä voidaan merkitä

$f:S^n\to S$

ja

$f(x_1,x_2,...,x_n)=a,$

missä $x_1,x_2,...,x_n,a\in S.$

Esimerkkejä

Binäärioperaatioissa $\star$ on kyse kaksimuuttujaisesta funktiosta $\star :S\times S\to S$ eli merkinnästä $a\star b$, jonka tulos kuuluu tai ei kuulu samaan joukkoon $S$. Vähennyslaskun laskuoperaatio luonnollisten lukujen joukossa eli pari $(\mathbb{N},-)$ ei ole suljettu vähennyslaskuoperaation suhteen, koska vähennettäessä pienemmästä luvusta suurempi, saadaan tuloseksi negatiivinen kokonaisluku, joka ei kuulu luonnollisiin lukuihin. Yhteenlaskun suhteen luonnolliset luvut, eli pari $(\mathbb{N},+)$, muodostavat suljetun joukon, koska kahden pienen luonnollisen luvun summa on aina suurempi luku, joka kuuluu aina luonnollisiin lukuihin. Vastaavasti voidaan todeta, että kahden luvun kertolasku $(\mathbb{N},*)$ on suljettu operaation suhteen. Jakolasku $(\mathbb{N},÷)$ taas ei ole suljettu operaation suhteen, koska tulokseksi tuleva murtoluku ei ole aina luonnollinen luku.

Kokonaisluvut on suljettu joukko yhteen-, vähennys- ja kertolukujen suhteen eli $(\mathbb{Z},+)$, $(\mathbb{Z},-)$ ja $(\mathbb{Z},*)$. Jakolasku on suljettu joukko kaikkien- tai positiivisten rationaalilukujen joukossa eli $(\mathbb{Q},÷)$ ja $({\mathbb{Q}}_{+},÷)$.

Luonnollisten lukujen osajoukko parilliset luvut on yhteen- ja kertolaskun suhteen suljettu joukko. Jos parilliset luvut sisältävät myös negatiiviset parilliset luvut, on se suljettu myös vähennyslaskun suhteen.

Aiheesta lisää

• Esimerkkejä renkaista tai pdfMalline:Vanhentunut linkki
• Ryhmä (algebra)
• BOOLEN ALGEBROISTAMalline:Vanhentunut linkki
• Closure Property Malline:Wayback
• set closed under an operation Malline:Wayback
• binary operations Malline:Wayback
• Operation whith whole numbersMalline:Vanhentunut linkki
• How To Teach Algebraic Closure
• Katso myös suljettu joukko