Muuttuvamassainen systeemi

Raketti on hyvä esimerkki muuttuvamassaisesta systeemistä. Raketin massa pienenee sen polttoaineen palaessa.

Muuttuvamassainen systeemi tarkoittaa mekaniikassa sellaista kappaletta tai systeemiä, jonka massa muuttuu ajan kuluessa. Tällaisen systeemin liikeyhtälöä ei voi johtaa dynamiikan peruslain yhtälöstä $𝐅=m𝐚$, sillä siinä massa pysyy vakiona. Sen sijaan voidaan käyttää dynamiikan peruslaista yleistä muotoa, jonka mukaan systeemiin tai kappaleeseen kohdistuva voima on yhtä suuri kuin systeemin tai kappaleen liikemäärän derivaatta ajan suhteen: $𝐅=\mathrm{d}𝐩/\mathrm{d}t$. Yleisessä muodossaan muuttuvamassaisen kappaleen liikeyhtälö on

$𝐅+{𝐯}_{\text{suht}}\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}=m\frac{\mathrm{d}𝐯}{\mathrm{d}t}$,

missä

$𝐅$ on kappaleeseen kohdistuvien ulkoisten voimien summa,

${𝐯}_{\text{suht}}$ on kappaleesta irtoavan tai kappaleeseen kiinnittyvän massan suhteellinen nopeus kappaleen massakeskipisteestä katsottuna,

$m$ on kappaleen massa (ajan funktiona) ja

$𝐯$ on kappaleen nopeus.

Erityisesti raketeissa termi ${𝐯}_{\text{suht}}$ tarkoittaa raketin palokaasujen nopeutta rakettiin itseensä nähden. Yhtälö $𝐅=m𝐚$ on erikoistapaus, joka saadaan yleisestä liikeyhtälöstä asettamalla massa vakioksi (jolloin $\mathrm{d}m/\mathrm{d}t=0$), sillä $𝐚=\mathrm{d}𝐯/\mathrm{d}t$.

Muuttuvamassaisen systeemin yleinen liikeyhtälö

Virheellinen muoto

Yleinen liikeyhtälö muuttuvamassaiselle kappaleelle tai systeemille voidaan yrittää johtaa lähtien liikkeelle dynamiikan peruslaista ja kirjoittamalla liikemäärä massan ja nopeuden tulona:

$𝐅=\frac{\mathrm{d}𝐩}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m𝐯)$.

Nyt on huomattava, että tässä $𝐯$ ei tarkoita yhden kappaleen nopeutta, vaan se riippuu systeemissä olevien massallisten kappaleiden nopeuksista. Tämän vuoksi tulon derivoimissäännön käyttäminen suoraan dynamiikan peruslakiin johtaa virheelliseen liikeyhtälöön:

$𝐅=m\frac{\mathrm{d}𝐯}{\mathrm{d}t}+𝐯\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\text{(virheellinen)}$

Tämä liikeyhtälö on virheellinen, koska se ei ole Galilei-invariantti: Esimerkiksi, jos muuttuvamassaiseen kappaleeseen ei kohdistu ulkoisia voimia ($𝐅=0$), sen täytyy Newtonin 1. lain nojalla pysyä levossa koordinaatistossa, jossa kappale oli alun perinkin levossa. Toisaalta toisessa koordinaatistossa, josta katsottuna kappale liikkuu nopeudella $𝐯$, kappaleeseen näyttäisi kohdistuvan kiihdyttävä ''voima'' $-𝐯\mathrm{d}m/\mathrm{d}t$.

Oikea muoto

Ylhäällä: $m$-massainen kappale liikkuu ajanhetkellä $t$ nopeudella $𝐯$ ulkopuolisen tarkastelijan inertiaalikoordinaatistossa. Alhaalla: Ajanhetkellä $t+\mathrm{d}t$ kappaleesta irtoaa pieni $\mathrm{d}{m}^{\prime }$-massainen osa, joka liikkuu samassa koordinaatistossa nopeudella $𝐮$.

Tarkastellaan systeemiä, joka koostuu $m$-massaisesta kappaleesta, joka ajanhetkellä $t$ liikkuu ulkopuolisen tarkastelijan inertiaalikoordinaatistossa nopeudella $𝐯$ (ks. oheinen kuva). Ulkopuolisen tarkastelijan koordinaatistossa systeemin liikemäärä on tällöin

$𝐩(t)=m𝐯$.

Ajanhetkellä $t+\mathrm{d}t$ kappaleesta irtoaa infinitesimaalisen pieni osanen, jonka massa on $\mathrm{d}{m}^{\prime }$. Olkoon irtoavan osan nopeus ulkopuolisen tarkastelijan koordinaatistossa $𝐮$. Irtoamisen jälkeen alkuperäisen kappaleen massa on $m-\mathrm{d}{m}^{\prime }$ ja nopeus on $𝐯+\mathrm{d}𝐯$. Toisaalta alkuperäisen kappaleen massan muutos on

$\mathrm{d}m=-\mathrm{d}{m}^{\prime }$,

sillä sen massa pienenee. Irtoamisen jälkeen systeemin liikemäärä on liikemäärän säilymislain nojalla kappaleen ja irronneen osan liikemäärien summa:

$\begin{array}{cc}𝐩(t+\mathrm{d}t)& =(m-\mathrm{d}{m}^{\prime })(𝐯+\mathrm{d}𝐯)+\mathrm{d}{m}^{\prime }𝐮\\ & =(m+\mathrm{d}m)(𝐯+\mathrm{d}𝐯)-𝐮\mathrm{d}m\\ & =m𝐯+m\mathrm{d}𝐯+𝐯\mathrm{d}m+\mathrm{d}m\mathrm{d}𝐯-𝐮\mathrm{d}m\\ \end{array}$

Termi $\mathrm{d}m\mathrm{d}𝐯$ on kahden infinitesimaalisen muutoksen tulona hyvin pieni, joten se voidaan jättää pois. Liikemäärän infinitesimaalinen muutos on

$\begin{array}{cc}\mathrm{d}𝐩& =𝐩(t+\mathrm{d}t)-𝐩(t)\\ & =m𝐯+m\mathrm{d}𝐯+𝐯\mathrm{d}m-𝐮\mathrm{d}m-m𝐯\\ & =m\mathrm{d}𝐯+(𝐯-𝐮)\mathrm{d}m\\ & =m\mathrm{d}𝐯-(𝐮-𝐯)\mathrm{d}m\end{array}$

Seuraavaksi käytetään dynamiikan peruslakia, jonka mukaan kappaleeseen kohdistuva kokonaisvoima on yhtä suuri kuin kappaleen liikemäärän aikaderivaatta:

$𝐅=\frac{\mathrm{d}𝐩}{\mathrm{d}t}=m\frac{\mathrm{d}𝐯}{\mathrm{d}t}-(𝐮-𝐯)\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}$.

Termi $𝐮-𝐯$ on irronneen kappaleen nopeus suuremman kappaleen koordinaatistosta tarkasteltuna. Merkitään ${𝐯}_{\text{suht}}=𝐮-𝐯$, jolloin saadaan lopullinen liikeyhtälö:

$𝐅+{𝐯}_{\text{suht}}\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}=m\frac{\mathrm{d}𝐯}{\mathrm{d}t}$.

Sama yhtälö voidaan johtaa myös tarkastelemalla tilannetta, jossa alkuperäisen kappaleen massa kasvaa, kun siihen kiinnittyy pieni $\mathrm{d}{m}^{\prime }$-massainen kappale. Tällöin $\mathrm{d}m=+\mathrm{d}{m}^{\prime }$.

Esimerkkejä

Tsiolkovskin laki

Tarkastellaan avaruusrakettia, joka liikkuu rakettimoottorinsa avulla tyhjässä avaruudessa siten, että siihen ei kodistu ulkoisia voimia. Oletetaan raketin liike yksiuloitteiseksi, jolloin nopeusvektorit voidaan korvata skalaareilla (vauhti). Olkoon raketin ja kyydissä olevan polttoaineen yhteismassa aluksi $m_0$ ja raketin vauhti aluksi $v_0$. Oletetaan, että raketin palokaasujen vauhti (rakettiin nähden) on koko ajan vakio $-v_{\text{e}}$ (vauhti on negatiivinen, koska palokaasut liikkuvat raketista katsottuna eri suuntaan). Raketin liikeyhtälö on tällöin

$-v_{\text{e}}\frac{\mathrm{d}\tilde{m}}{\mathrm{d}t}=\tilde{m}\frac{\mathrm{d}\tilde{v}}{\mathrm{d}t}$,

missä $\tilde{m}$ on raketin ja sen sisältämän polttoaineen massa ja $\tilde{v}$ raketin vauhti ajanhetkellä $t$. Poistetaan aikariippuvuus kertomalla liikeyhtälön kumpikin puoli $\mathrm{d}t$:llä:

$-v_{\text{e}}\mathrm{d}\tilde{m}=\tilde{m}\mathrm{d}\tilde{v}$.

Järjestellään termejä ja integroidaan yhtälö puolittain integrointirajoina alkuhetki (massa $m_0$, nopeus $v_0$) ja mielivaltainen ajanhetki (massa $m$, nopeus $v$):

$\begin{array}{cc}\mathrm{d}\tilde{v}& =-v_{\text{e}}\frac{\mathrm{d}\tilde{m}}{\tilde{m}}\\ \underset{v_0}{\overset{v}{\int }}\mathrm{d}\tilde{v}& =-v_{\text{e}}\underset{m_0}{\overset{m}{\int }}\frac{\mathrm{d}\tilde{m}}{\tilde{m}}\\ v-v_0& =-v_{\text{e}}(\ln m-\ln m_0)=v_{\text{e}}\ln \left(\frac{m_0}{m}\right)\end{array}$

Tästä saadaan kaava raketin nopeudelle sen kokonaismassan funktiona:

$v(m)=v_0+v_{\text{e}}\ln \left(\frac{m_0}{m}\right)$.

Tämä tunnetaan myös Tsiolkovskin lakina.

Raketin nousunopeus

Raketti nousee pystysuoraan ylöspäin maapallon gravitaatiokentässä. Infinitesimaalisen ajan $\mathrm{d}t$ kuluessa raketin massa pienenee $\mathrm{d}m$ verran.

Tarkastellaan rakettia, joka lähtee avaruuteen maanpinnalta. Oletetaan raketin nousevan koko ajan pystysuoraan, jolloin nopeusvektorit voidaan edellisen esimerkin tavoin korvata vauhdeilla. Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että laukaisun jälkeen raketti polttaa polttoainettaan muuttumattomalla nopeudella $-\mathrm{d}m/\mathrm{d}t=:\alpha >0$ (kilogrammaa sekunnissa) ja että pakokaasujen vauhti rakettiin nähden on koko ajan vakio $-v_{\text{e}}$. Olkoon raketin massa ennen lähtöä $m_0$.

Nousun aikana rakettiin vaikuttaa koko ajan maapallon gravitaatio, ja oletetaan, että rakettiin ei kohdistu muita ulkoisia voimia, jolloin

$F=-\tilde{m}g$,

missä $\tilde{m}$ on raketin massa ja $g$ on maapallon putoamiskiihtyvyys (miinusmerkki, koska positiivinen $y$-suunta valitaan positiiviseksi). Raketin liikeyhtälö on tällöin

$-\tilde{m}g+v_{\text{e}}\alpha =\tilde{m}\frac{\mathrm{d}\tilde{v}}{\mathrm{d}t}$,

missä $\tilde{v}$ on raketin vauhti ajanhetkellä $t$. Järjestellään termejä uudelleen:

$\mathrm{d}\tilde{v}=(-g+v_{\text{e}}\frac{\alpha }{\tilde{m}})\mathrm{d}t$.

Yhtälössä on nyt liikaa muuttujia ratkaisua ajatellen, joten poistetaan aikariippuvuus käyttämällä tietoa $\mathrm{d}\tilde{m}/\mathrm{d}t=-\alpha$:

$\mathrm{d}\tilde{v}=(\frac{g}{\alpha }-\frac{v_{\text{e}}}{\tilde{m}})\mathrm{d}\tilde{m}$.

Integroidaan saatu yhtälö puolittain integrointirajoina alkuhetki (massa $m_0$, nopeus 0) ja mielivaltainen ajanhetki (massa $m$, nopeus $v$):

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{v}{\int }}\mathrm{d}\tilde{v}& =\underset{m_0}{\overset{m}{\int }}(\frac{g}{\alpha }-\frac{v_{\text{e}}}{\tilde{m}})\mathrm{d}\tilde{m}\\ v& =\frac{g}{\alpha }(m-m_0)+v_{\text{e}}\ln \left(\frac{m_0}{m}\right)\end{array}$

Aikariippuvuus saadaan sijoittamalla saatuun yhtälöön raketin massa ajan funktiona (kun $t$ on laukaisusta kulunut aika):

$m(t)=m_0-\alpha t$.

Raketin nopeus ajan funktiona on tällöin

$v(t)=-gt+v_{\text{e}}\ln \left(\frac{m_0}{m_0-\alpha t}\right)$.

Katso myös

• Mekaniikan peruslait
• Differentiaaliyhtälö