Muirheadin epäyhtälö

Matematiikassa Muirheadin epäyhtälö yleistää aritmeettisen ja geometrisen keskiarvon välisen epäyhtälön. Sen mukaan jos reaaliluvuille

$a_1\ge a_2\ge \cdots \ge a_n$

$b_1\ge b_2\ge \cdots \ge b_n$

on voimassa

$a_1\le b_1$

$a_1+a_2\le b_1+b_2$

$a_1+a_2+a_3\le b_1+b_2+b_3$

$⋮⋮⋮⋮$

$a_1+\cdots +a_{n-1}\le b_1+\cdots +b_{n-1}$

$a_1+\cdots +a_n=b_1+\cdots +b_n,$

niin tällöin

$\sum _{\sigma }{x}_{{\sigma }_1}^{a_1}\cdots x_{{\sigma }_n}^{a_n}\le \sum _{\sigma }{x}_{{\sigma }_1}^{b_1}\cdots x_{{\sigma }_n}^{b_n}$, missä σ käy läpi kaikki lukujen 1,...,n permutaatiot.

Proschan ja Seutherman ovat yleistäneet Muirheadin epäyhtälön muotoon

$\sum _{\sigma }f({\sigma }_1,a_1)\cdots f({\sigma }_n,a_n)\ge \sum _{\sigma }f({\sigma }_1,b_1)\cdots f({\sigma }_n,b_n),$

missä f on logaritmisesti konveksi funktio x:n suhteen.

Aiheesta muualla

• Proschan, Seutherman, Two generalizations of Muirhead's theorem, Bull. Cal. Math. Soc. 69 (1977), 341-344.
• Muirheadin epäyhtälön todistus