Monikulmioluku

Monikulmioluku on mikä tahansa luonnollinen luku, jota vastaava määrä pisteitä voidaan asetella tasavälein pinnalle niin, että ne muodostavat säännöllisen monikulmion^[1]. Monikulmioluvut ovat eräs kuviolukujen ryhmä: niissä pisteitä asetellaan tasolle.

Johdanto

Esimerkiksi luku 10 on kolmioluku, sillä 10 kiveä voidaan asettaa tasasivuiseksi kolmioksi.

Sama luku 10 ei voi olla neliöluku, mutta luku 9 sitä vastoin voi olla.

Joskus sama luku voi olla sekä kolmio- että neliöluku. Pienin tällainen luku on 36.

Muita monikulmiolukuja ovat muun muassa kolmioluvut, neliöluvut, viisikulmioluvut ja kuusikulmioluvut.

Säännönmukaisia piirteitä

Merkitään jatkossa $s$ monikulmion sivujen lukumääräksi ja $n$ lukujonon jäsenen indeksiksi.

Lausekkeita

Ensimmäinen n-monikulmioluku on aina 1 ja seuraava s.^[2]

Lauseke $P (s, n)$ antaa monikulmioluvun arvon, kun

P (s, n) = (\frac{s}{2} - 1) n^{2} - (\frac{s}{2} - 2) n = \frac{(s - 2) n^{2} - (s - 4) n}{2} .

^[3]^[4]

Seuraava lauseke lausuu $n$ :nnen monikulmioluvun kolmiolukujen avulla:

P (s, n) = (s - 2) T_{n - 1} + n = (s - 3) T_{n - 1} + T_{n} .

^[3]

Monikulmiolukujonon kahden peräkkäisen luvun erotuksen lauseke on

P (s, n + 1) - P (s, n) = (s - 2) n + 1 .

Kahden monikulmioluvun, joiden sivujen lukumäärä eroaa vain yhdellä, saman jäsenen $n$ arvot eroavat kolmioluvun verran:

P (s + 1, n) - P (s, n) = T_{n - 1} = \frac{n (n - 1)}{2} .

Jos tiedetään monikulmioluvun $x$ sivujen lukumäärän $s$ , voidaan laskea sen indeksi $n$ lausekkeesta

n = \frac{\sqrt{(8 s - 16) x + (s - 4)^{2}} + s - 4}{2 s - 4} .

^[3]

Lukuarvoja

Alle on koottu ensimmäisten monikulmiolukujen tietoja. Sarakkeessa "Jonon jäsenten lauseke" annetaan sijoitetussa muodossa lauseke, jolla voidaan laskea monikulmioluvun indeksillä $n$ annetun jäsenen arvo. Sen perässä on luettelo kymmenestä ensimmäisestä monikulmioluvusta. Joistakin monikulmioluvuista tunnetaan niiden käänteislukujen sarjan arvo. Gottfried Wilhelm Leibniz ratkaisi ensimmäisenä kolmiolukujen sarjan arvon^[5]. Viimeisessä sarakkeessa on linkki kokonaislukujen jonojen sivustolle (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences).

s	Nimi	Jonon jäsenen lauseke	Jäsenet n:n arvoilla 1…10	Käänteislukujen summa^[4]	OEIS-numero
3	kolmioluku	$\frac{n^{2} + n}{2}$	1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55	$2$	A000217
4	neliöluku	$n^{2}$	1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100	$\frac{π^{2}}{6}$	A000290
5	viisikulmioluku	$\frac{3 n^{2} - n}{2}$	1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145	$3 \ln (3) - \frac{π \sqrt{3}}{3}$	A000326
6	kuusikulmioluku	$2 n^{2} - n$	1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190	$2 \ln (2)$	A000384
7	seitsenkulmioluku	$\frac{5 n^{2} - 3 n}{2}$	1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, 189, 235	$\begin{matrix} \frac{1}{15} π \sqrt{25 - 10 \sqrt{5}} + \frac{2}{3} \ln (5) \\ + \frac{1 + \sqrt{5}}{3} \ln (\frac{1}{2} \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}) \\ + \frac{1 - \sqrt{5}}{3} \ln (\frac{1}{2} \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}) \end{matrix}$	A000566
8	kahdeksankulmioluku	$3 n^{2} - 2 n$	1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280	$\frac{3 \ln (3)}{4} + \frac{π \sqrt{3}}{12}$	A000567
9	yhdeksänkulmioluku	$\frac{7 n^{2} - 5 n}{2}$	1, 9, 24, 46, 75, 111, 154, 204, 261, 325		A001106
10	kymmenkulmioluku	$4 n^{2} - 3 n$	1, 10, 27, 52, 85, 126, 175, 232, 297, 370	$\ln (2) + \frac{π}{6}$	A001107
11	yksitoistakulmioluku	$\frac{9 n^{2} - 7 n}{2}$	1, 11, 30, 58, 95, 141, 196, 260, 333, 415		A051682
12	kaksitoistakulmioluku	$5 n^{2} - 4 n$	1, 12, 33, 64, 105, 156, 217, 288, 369, 460		A051624
13	kolmetoistakulmioluku	$\frac{11 n^{2} - 9 n}{2}$	1, 13, 36, 70, 115, 171, 238, 316, 405, 505		A051865
14	neljätoistakulmioluku	$6 n^{2} - 5 n$	1, 14, 39, 76, 125, 186, 259, 344, 441, 550	$\frac{2 \ln (2)}{5} + \frac{3 \ln (3)}{10} + \frac{π \sqrt{3}}{10}$	A051866
15	viisitoistakulmioluku	$\frac{13 n^{2} - 11 n}{2}$	1, 15, 42, 82, 135, 201, 280, 372, 477, 595		A051867
16	kuusitoistakulmioluku	$7 n^{2} - 6 n$	1, 16, 45, 88, 145, 216, 301, 400, 513, 640		A051868
17	seitsemäntoistakulmioluku	$\frac{15 n^{2} - 13 n}{2}$	1, 17, 48, 94, 155, 231, 322, 428, 549, 685		A051869
18	kahdeksantoistakulmioluku	$8 n^{2} - 7 n$	1, 18, 51, 100, 165, 246, 343, 456, 585, 730		A051870
19	yhdeksäntoistakulmioluku	$\frac{17 n^{2} - 15 n}{2}$	1, 19, 54, 106, 175, 261, 364, 484, 621, 775		A051871
20	kaksikymmentäkulmioluku	$9 n^{2} - 8 n$	1, 20, 57, 112, 185, 276, 385, 512, 657, 820		A051872
21	kaksikymmentäyksikulmioluku	$\frac{19 n^{2} - 17 n}{2}$	1, 21, 60, 118, 195, 291, 406, 540, 693, 865		A051873
22	kaksikymmentäkaksikulmioluku	$10 n^{2} - 9 n$	1, 22, 63, 124, 205, 306, 427, 568, 729, 910		A051874
23	kaksikymmentäkolmekulmioluku	$\frac{21 n^{2} - 19 n}{2}$	1, 23, 66, 130, 215, 321, 448, 596, 765, 955		A051875
24	kaksikymmentäneljäkulmioluku	$11 n^{2} - 10 n$	1, 24, 69, 136, 225, 336, 469, 624, 801, 1000		A051876

Yhteisiä lukuja

Jotkin monikulmioluvut, kuten yllä oleva esimerkki 36, joka kuuluu kolmio- ja neliölukuihin, kuuluvat kahteen ryhmään saman aikaisesti. Pellin yhtälöllä on mahdollista selvittää kahden ryhmän yhteiset luvut.

Seuraavassa taulukossa on luetteloitu joidenkin monikulmiolukujen yhteiset luvut. Luku $s ja t$ esittävät lukujen kulmien määrää. Joissakin tapauksissa ainoa yhteinen jäsen on ensimmäinen luku 1. Näin on esimerkiksi, kun $s = 10 ja t = 4$ .

s	t	Jono	OEIS-numero
4	3	1, 36, 1225, 41616, …	A001110
5	3	1, 210, 40755, 7906276, …	A014979
5	4	1, 9801, 94109401, …	A036353
6	3	kaikki kuusikulmioluvut	A000384
6	4	1, 1225, 1413721, …	A046177
6	5	1, 40755, 1533776805, …	A046180
7	3	1, 55, 121771, 5720653, …	A046194
7	4	1, 81, 5929, 2307361, …	A036354
7	5	1, 4347, 16701685, …	A048900
7	6	1, 121771, 12625478965, …	A048903
8	3	1, 21, 11781, 203841, …	A046183
8	4	1, 225, 43681, 8473921, …	A036428
8	5	1, 176, 1575425, …	A046189
8	6	1, 11781, 113123361, …	A046192
8	7	1, 297045, 69010153345, …	A048906
9	3	1, 325, 82621, 20985481, …	A048909
9	4	1, 9, 1089, 8281, 978121, …	A036411
9	5	1, 651, 180868051, …	A048915
9	6	1, 325, 5330229625, …	A048918
9	7	1, 26884, 542041975, …	A048921
9	8	1, 631125, 286703855361, …	A048924

Historiaa

Muun muassa pythagoralaiset tutkivat noin 500 eaa. lukujen ominaisuuksia ja niihin liittyvää mystiikkaa. Kolmioluvut olivat keskeinen osa kuviolukujen oppirakennelmaa ja liittyi ilmeisesti oleellisella tavalla numerologiaan. Heidän lukuteoriansa piti pyhän tetraktyksen $T_{4}$ kolmiorakennetta samassa arvossa kuin säännöllistä geometrista viisikulmiota eli pentagrammia. Etuoikeutettujen lukujen luokkia oli runsaasti. Filolaos totesi, että kaikkiin asioihin voidaan liittää luku ja että mitään ei voida kuvitella tai tietää ilman lukua.^[6]

Pierre de Fermat tutki muiden töidensä oheella myös pythagoralaisten matematiikkaa käsitellen muun muassa täydellisiä lukuja, kuviolukuja ja alkulukuja. Hänen todistusmenetelmät avasivat lukujen maailman tehokkaasti ja samalla hän perusti lukuteorian. Hän ehdotti haasteena muille, että jokainen luonnollinen luku voidaan esittää korkeintaan k:lla k-kulmioluvulla (Fermat’n monikulmiolause). Hän myös väitti todistaneensa väitteensä, mutta todistusta ei ole löydetty hänen paperiensa joukosta. Carl Gustav Jacob Jacobi ja Joseph-Louis Lagrange (Lagrangen neljän neliön lause, vuonna 1772) sekä Leonhard Euler ovat todistaneet sen neliölukujen tapauksessa ja Carl Friedrich Gauss kolmiolukujen tapauksessa vuonna 1796. Vasta Augustin-Louis Cauchy todisti sen yleisessä tapauksessa vuonna 1813.^[7]^[3]^[8]

Lähteet

Viitteet

Malline:Viitteet

Aiheesta muualla

Hobson, N.: "Triangular Numbers" Malline:Wayback
Rajesh Ram: TRIANGLE Numbers that are Perfect Squares Malline:Wayback
Pell's equation Englanninkielisessä Wikipediassa.

Malline:Kuvioluvut

ru:Последовательность двенадцатиугольника

↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä ww_fig ei löytynyt
↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä lehtinen ei löytynyt
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä ww_poly ei löytynyt
↑ ^4,0 ^4,1 Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä resi ei löytynyt
↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä boyer562 ei löytynyt
↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä boyer93 ei löytynyt
↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä boyer500 ei löytynyt
↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä boyer726 ei löytynyt

[ww_fig-1] Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä ww_fig ei löytynyt

[lehtinen-2] Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä lehtinen ei löytynyt

[ww_poly-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä ww_poly ei löytynyt

[resi-4] 4,0 ^4,1 Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä resi ei löytynyt

[boyer562-5] Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä boyer562 ei löytynyt

[boyer93-6] Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä boyer93 ei löytynyt

[boyer500-7] Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä boyer500 ei löytynyt

[boyer726-8] Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä boyer726 ei löytynyt

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Monikulmioluku

Sisällys

Johdanto

Säännönmukaisia piirteitä

Lausekkeita

Lukuarvoja

Yhteisiä lukuja

Historiaa

Lähteet

Viitteet

Aiheesta muualla

Navigointivalikko

Monikulmioluku

Johdanto

Säännönmukaisia piirteitä

Lausekkeita

Lukuarvoja

Yhteisiä lukuja

Historiaa

Lähteet

Viitteet

Aiheesta muualla

Navigointivalikko

Haku