Modulimuoto

Modulimuodot ovat funktioryhmiä, jotka on määritelty kompleksitason ylemmässä puoliskossa. Ne keksittiin vasta 1800-luvulla ja ovat oma abstrakti matematiikan alueensa. Modulimuodot ovat monin tavoin symmetrisiä; symmetria tulee esiin tyypillisellä muunnoksella $f(z)\Rightarrow f((az+b)/(cz+d))$.

Esimerkki

Dedekindin eetafunktio määritellään

$\eta (z)=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^n),q=e^{2\pi iz}.$

Silloin modulaarinen diskriminantti Δ(z) = η(z)²⁴ on modulimuoto.

Automorfiset muodot ja muita yleistyksiä

Modulimuodot voidaan yleistää sallimalla funktio $\epsilon (a,b,c,d)$ niin että $|\epsilon (a,b,c,d)|=1$ ja

$f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)=\epsilon (a,b,c,d)(cz+d{)}^{k}f(z).$

Funktiot muotoa $\epsilon (a,b,c,d)(cz+d{)}^k$ tunnetaan automorfisina kertoimina.

Toinen yleistys on Hilbert-modulimuodot.

Formaali määritelmä

Kirjassa on annettu modulimuodon formaali määritelmä seuraavasti: Olkoon $N$ positiivinen kokonaisluku. Tällöin algebrallinen käyrä $X_0(N)$ on tasoa $N$ oleva modulikäyrä. Säännöllinen differentiaalimuoto modulikäyrällä $X_0(N)$ on tasoa $N$ oleva $\mathbb{Q}$-kertoiminen modulimuoto.

Kirjassa on annettu modulimuodon formaali määritelmä seuraavasti: Olkoon $k$ kokonaisluku. Meromorfinen funktio $f:\mathscr{H}\to ℂ$ on heikosti modulaarinen painolla $k$ jos $f(\gamma (\tau ))=(c\tau +t{)}^{k}f(\tau )$ kun $\gamma =\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\in {\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ ja $\tau \in \mathscr{H}$.

Funktio $f:\mathscr{H}\to ℂ$ on modulimuoto painolla $k$, jos $f$ on holomorfinen sekä $\mathscr{H}$:ssa että $\mathrm{\infty }$:ssä ja $f$ on heikosti modulaarinen painolla $k$