Mandelstamin muuttujat

Mandelstamin muuttujat kuvaavat kahden elastisesti törmäävien hiukkasten liikemäärää ja energiaa.

Mandelstamin muuttujat ovat kinemaattisia muuttujia, jotka ovat Lorentz-invariantteja (inertiaalikoordinaatistosta riippumattomia). Ne kuvaavat kahden elastisesti törmäävän hiukkasen energioita ja liikemääriä. Elastisuus tarkoittaa sitä, että kokonaisenergia ja -liikemäärä pysyvät samoina ennen ja jälkeen törmäyksen.

Matemaattinen muotoilu

Mandelstamin muuttujia kuvataan kirjaimilla s, t ja u:

$s=(p_1+p_2{)}^2=(p_3+p_4{)}^2$

$t=(p_1-p_3{)}^2=(p_2-p_4{)}^2$

$u=(p_1-p_4{)}^2=(p_2-p_3{)}^2$,

missä $p_1$ ja $p_2$ ovat törmäävien hiukkasten neliliikemäärät ja $p_3$ ja $p_4$ ovat hiukkasten neliliikemäärät törmäysten jälkeen. Mandelstamin muuttujien summa on sama kuin törmäävien ja sironneiden hiukkasten massojen neliöiden summa

$s+t+u=m_1^2+m_2^2+m_3^2+m_4^2$.

Kun törmäystä tarkastellaan massakeskipistekoordinaatistosta, niin s:n neliöjuuri tulkitaan hiukkasten kokonaisenergiaksi

$\sqrt{s}=E_1^{*}+E_2^{*}=E_{\text{tot}}^{*}$,

missä $E_1^{*}$ ja $E_2^{*}$ ovat törmäävien hiukkasten energiat ja yläindeksissä oleva *-merkki tarkoittaa sitä, että energia on massakeskipiste-energia. Vaihtoehtoinen tapa tarkastella tilannetta on käyttää laboratoriokoordinaatistoa, jossa siis toinen hiukkanen on koordinaatiston origossa ja sen tulkitaan olevan paikallaan.