Laplacen yhtälö

Laplacen yhtälö on matemaatikko Pierre-Simon Laplacen mukaan nimetty osittaisdifferentiaaliyhtälö, jolla voidaan mm. mallintaa tasapainotilan potentiaaleja. Laplacen yhtälöllä on sovelluksia mm. sähkömagnetismissa, tähtitieteessä ja virtausmekaniikassa.

Laplacen yhtälö kirjoitetaan nabla-operaattorin avulla muodossa

${\mathrm{\nabla }}^2\phi =0$

Yleisessä käytössä, etenkin matematiikassa, on myös rinnakkainen merkintätapa

$\mathrm{\Delta }\phi =0$

missä Δ on niin kutsuttu Laplacen operaattori.

Karteesisessa koordinaatistossa yhtälö voidaan kirjoittaa auki muotoon

$\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\phi }{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\phi }{\partial z^2}=0.$

Pallokoordinaatistossa yhtälö saa aukikirjoitettuna muodon

$\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}=0$

Laplacen yhtälön toteuttavia funktioita kutsutaan harmonisiksi funktioiksi.

Jos yhtälössä on myös vakiotermi tai koordinaateista riippuva funktio muotoa g(x,y,z), niin kyseessä on Poissonin yhtälö.

Katso myös

• Mallintaminen
• Differentiaalilaskenta
• Differentiaaliyhtälö
• Osittaisdifferentiaaliyhtälö

Aiheesta muualla

• Laplacen yhtälö mathworld.wolfram.com:ssa Malline:En