Lämpöyhtälö

Lämpöyhtälö on osittaisdifferentiaaliyhtälö, joka kuvaa lämmön johtumista aineessa. Yksinkertaisimmillaan yhtälö tiivistyy muotoon

$u_t=\alpha \mathrm{\Delta }u$,

joka on tyypillinen esimerkki parabolisesta osittaisdifferentiaaliyhtälöstä.

Lämpöyhtälön johtaminen

Tarkastellaan avointa avaruuden osajoukkoa $\mathrm{\Omega }$, ja olkoon $u(x,t)$ lämpötila, $e(x,t)$ aineen sisäenergia (J/kg) ja $\overrightarrow{q}$ lämpövuo (J/(m^2 s)). Energia tarkasteltavassa alueessa voidaan kirjoittaa

$E=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }e(x,t)\rho (x)dx$,

missä $\rho$ on aineen tiheys. Toisaalta energiaa poistuu alueesta nopeudella

$\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\iint }\overrightarrow{q}\cdot ndS$,

missä $n$ on alueen yksikköulkonormaali. Gaussin divergenssilauseen avulla jälkimmäinen lauseke voidaan kirjoittaa muotoon

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{q}dx$,

ja energian säilymisestä saadaan tällöin yhtälö

$\frac{\partial }{\partial t}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }e(x,t)\rho (x)dx+\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{q}dx=0$.

Koska nyt derivointi voidaan viedä integraalin sisään ja yhtälö pätee mielivaltaiselle alueelle, saadaan yhtälö

$\rho (x)e_t(x,t)+\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{q}=0$.

Toistaiseksi tarkasteluissa ei ole käytetty fysiikkaa lainkaan. Fourierin laki kertoo kuitenkin lämpövuon ja lämpötilan välillä olevan yhteyden

$\overrightarrow{q}=-k(x)\mathrm{\nabla }u(x,t)$,

joka kertoo lämmön virtaavan siihen suuntaan, missä lämpötila laskee nopeimmin. Lisäksi aineen sisäenergian ja lämpötilan välillä on yhteys

$e(x,t)=c(x)u(x,t)$,

missä $c$ on aineen ominaislämpökapasiteetti (J/(kgK)). Sijoittamalla nämä aiemmin saatuun yhtälöön saadaan nyt

$\rho (x)c(x)u_t(x,t)+\mathrm{\nabla }\cdot (-k(x)\mathrm{\nabla }u(x,t))=0$.

Jos Fourierin lain kerroin $k$ (lämmönjohtumisvakio) ei riipu paikasta, saadaan

$\rho (x)c(x)u_t(x,t)=k\mathrm{\Delta }u(x,t)$,

missä $\mathrm{\Delta }$ on Laplacen operaattori.