Kofiniittinen topologia

Kofiniittinen topologia on topologia, johon kuuluu avoimina joukkoina vain tyhjä joukko ja joukot, joiden komplementti on äärellinen; kääntäen siis ainoat suljetut joukot ovat äärelliset joukot ja koko avaruus. Symbolisesti se esitetään

$𝒯=\{A\subseteq X\mid A=\varnothing \text{ tai }X\setminus A\text{ on äärellinen}\}$

Esimerkiksi luonnollisten lukujen joukon kofiniittisessä topologiassa mm. joukot ”suurempi kuin kolme” ja ”erisuuri kuin 7 tai 8” ovat avoimia. Kaikki äärettömät joukot eivät kuitenkaan ole avoimia: esimerkiksi kaikkien parillisten lukujen joukko ei ole avoin, koska sen komplementti eli parittomien lukujen joukko ei ole äärellinen.

Teknisesti jokaiselle joukolle voidaan määritellä kofiniittinen topologia. Äärellisen joukon tapauksessa tuloksena on diskreetti topologia.

Ominaisuuksia

• Aliavaruudet: Kofiniittisen topologisen avaruuden aliavaruus on aina kofiniittinen.
• Kompaktius: Kofiniittinen topologia on kompakti.
• Erotteluaksioomat: Kofiniittinen topologia on karkein $T_1$-topologia. $T_2$-topologia se on vain, jos joukko on äärellinen.