Käyrän pituus

Pisteiden välisten matkojen summa antaa approksimaation käyrän pituudesta.

Käyrän pituus, s, funktiolle f saadaan integraalina

$s=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$

Määritelmä

Olkoon funktio f määritelty suljetulla välillä $[a,b]$, jolloin voidaan muodostaa f:n rajoittuma tälle välille eli $g:[a,b]\to ℝ$, missä $g(x)=f(x)$ kaikilla $x\in [a,b]$. Lisäksi vaaditaan, että funktiolla f on jatkuva derivaatta f'. Olkoon K funktion g kuvaaja.

Määritellään piste P_i joksikin kuvaajan K pisteeksi ($x_i,f(x_i))$, $x_0<x_1<\dots <x_n$ ja $x_0=a,x_n=b$.

Tällöin kuvaajan K pituus on peräkkäisten pisteiden $(P_i,P_{i+1})$, jossa $i\in [0,n-1]$, välisten etäisyyksien summan raja-arvo, kun välin jakoa tihennetään rajatta.

$\begin{array}{cc}\sum _{i=1}^n|P_{i-1}{P}_i|& =\sum _{i=1}^n\sqrt{(x_i-x_{i-1}{)}^2+[f(x_i)-f(x_{i-1}){]}^2}\\ & =\sum _{i=1}^n\sqrt{(1+\frac{[f(x_i)-f(x_{i-1}){]}^2}{\mathrm{\Delta }{x}^2})\mathrm{\Delta }{x}^2},\mathrm{\Delta }x=(x_i-x_{i-1})\\ & =\sum _{i=1}^n\sqrt{(1+{\left(\frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{\mathrm{\Delta }x}\right)}^2)}\mathrm{\Delta }x\\ \end{array}$

Kun Δx → 0, termi $\frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{\mathrm{\Delta }x}=f^{\prime }(x)$

Saadaan integraali:

$L=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$

Käyrän pituus johdettuna differentiaalien avulla

$\begin{array}{cc}(ds{)}^2& =(dx{)}^2+(dy{)}^2\\ L& =\int ds\\ & =\int \sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}\\ & =\int \sqrt{(dx{)}^2\left[1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2\right]}\\ L& =\underset{}{\overset{}{\int }}\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}dx\end{array}$