Itseään kuvaava luku

Malline:LähteetönItseään kuvaava luku (tai merkkijono, jos huomioon otetaan alkunollat), on sellainen luku, jossa luvun paikka (indeksi) merkkaa sen numeron määrää koko luvussa, alkaen nollasta. Kymmenjärjestelmässä luvun pituus on täten maksimissaan 10 (kantaluku 10, b). Ensimmäinen numero (luvun paikka, d) ilmaisee nollien määrän koko luvussa, seuraava ykkösten määrän jne. Itseään kuvaava luku ei kuitenkaan ole vain kymmenjärjestelmän ominaisuus. Myös 16-kantainen luku C210000000001000 toteuttaa kaavan.

Yleisimmin esitetty ongelma kuuluu seuraavasti: ”Pystytkö keksimään kymmennumeroisen luvun, jossa ensimmäinen numero kertoo nollien määrän, seuraava ykkösten, kolmas kakkosten ja niin edelleen?”

Lukuja, jotka toteuttavat yllä mainitun, ovat:

Kantaluku (b) / Pituus (n)	Luku (m)
1	ei ratkaisuja
2	ei ratkaisuja
3	ei ratkaisuja
4	1210 ja 2020
5	21200
6	ei ratkaisuja
7	3211000
8	42101000
9	521001000
10	6210001000
16	C210000000001000

Kohdista 7–10 on huomattavissa järjestelmällinen muutos, jossa paikka (d) 1 nousee aina yhdellä, siirtäen sitä merkkaavaa lukua yhden oikealle. Lisäksi on huomattavissa, että kaikkien ratkaisujen lukujen yhteenlaskettu summa on aina sama kuin pituus.

Kaava

Kaavalla:

$(b-4)b^{b-1}+2b^{b-2}+b^{b-3}+b^3$, jossa b kantaluku, voidaan laskea mahdolliset ratkaisut. Esimerkiksi luku 4 (b=4) antaa luvun 100, joka on 4-järjestelmässä luku 1 210.