Hardyn epäyhtälö

Hardyn epäyhtälö kuuluu matematiikassa seuraavasti: Olkoon A={a₁,a₂,...} jono epänegatiivisia reaalilukuja ja f epänegatiivinen integroituva funktio. Merkitään

$A_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$

ja

$F(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$.

Tällöin kaikilla p > 1 on voimassa

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{A_n}{n}\right)}^p<{\left(\frac{p}{p-1}\right)}^p\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n{)}^p$

jos (a_n) ei ole nolla kaikilla indekseillä n. Integroituvalle funktiolle F Hardyn epäyhtälö sanoo

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\left(\frac{F(x)}{x}\right)}^p$$\mathrm{d}x\le {\left(\frac{p}{p-1}\right)}^p\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(f(x){)}^p\mathrm{d}x$.

Yhtäsuuruus pätee jos ja vain jos f(x) = 0 melkein kaikkialla.

Lähteet

• Weisstein, Eric W. "Hardy's Inequality." MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/HardysInequality.html