Gudermannin funktio

Gudermannin funktio asymptootteineen

Gudermannin funktio eli hyperbolinen amplitudi on erikoisfunktio, joka yhdistää trigonometriset funktiot hyperbolisiin funktioihin ilman kompleksilukujen käyttöä. Gudermannin funktion käänteisfunktio kuvaa leveyspiirin kuvautumista kartan $y$-akselille yleisesti käytetyssä Mercatorin karttaprojektiossa. Funktio on nimetty saksalaisen matemaatikon Cristoph Gudermannin (1798–1852) mukaan .

Gudermannin funktio, $gd$, määritellään

$\mathrm{gd}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\cosh t}=2\arctan (e^x)-\frac{\pi }{2}.$

Gudermannin funktion käänteisfunktio on vastaavasti

$\mathrm{arcgd}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\cos t}=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)$

Ominaisuuksia

Gudermannin funktio on pariton, sillä

$\mathrm{gd}(-x)=-\mathrm{gd}(x)$

Sillä on myös kaksi asymptoottia

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{gd}(x)=\frac{\pi }{2}$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{gd}(x)=-\frac{\pi }{2}$

Yhteys trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden välillä

$\sinh (x)=\tan (\mathrm{gd}(x))$

$\cosh (x)=\sec (\mathrm{gd}(x))$

$\tanh (x)=\sin (\mathrm{gd}(x))$

$\mathrm{sech}(x)=\cos (\mathrm{gd}(x))$

$\mathrm{csch}(x)=\cot (\mathrm{gd}(x))$

$\coth (x)=\csc (\mathrm{gd}(x))$

ja lisäksi

$\tanh \left(\frac{x}{2}\right)=\tan \left(\frac{\mathrm{gd}(x)}{2}\right)$

Eksponenttifunktioon Gudermannin funktiolla on yhteys

$e^x=\frac{1+\sin (\mathrm{gd}(x))}{\cos (\mathrm{gd}(x))}$

Funktion ja sen käänteisfunktion derivaatat ovat

$\frac{d}{dx}\mathrm{gd}(x)=\mathrm{sech}x$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcgd}(x)=\sec x$

Gudermannin funktio yleistyy suoraan kompleksilukuargumenteille. Puhtaasti imaginääriselle argumentille on voimassa

$\mathrm{gd}(ix)=i\mathrm{arcgd}(x)$

Aiheesta muualla

• Gudermannin funktio Mathworldissa Malline:En