Erakkopiste

Topologiassa erakkopisteellä tarkoitetaan sellaista topologisen avaruuden $X$ pistettä $x$, että jokin pisteen $x$ ympäristö $U$ ei sisällä muita pisteitä kuin $x$:n.

Formaalisti: $x$ on joukon $A$ erakkopiste, jos $x\in A$ ja on olemassa ympäristö $U$ siten, että $x\in U$ ja $U\cap A=\{x\}$.

Sanotaan, että joukko $A$, joka sisältyy avaruuteen $X$, on diskreetti, jos sen jokainen piste on erakkopiste. Samaten avaruus $X$ on diskreetti, jos sen jokainen piste on erakkopiste.

Esimerkkejä

• Jos $A=\{1\}\cup [2,3]$, niin alkio $1$ on joukon $A$ erakkopiste.

• Joukolla $A=[0,1[$ ei ole erakkopisteitä $ℝ$:ssa, koska kaikilla $x\in A$ ja kaikilla $r>0$ pätee $(B(x,r)\cap A)\setminus \{x\}\ne \mathrm{\varnothing }$. Edellä $B(x,r)$ on niin sanottu kuulaympäristö (ks. ympäristö).

Lähteet

• Malline:Kirjaviite
• Malline:Kirjaviite