Epämääräinen muoto

Epämääräinen muoto on matemaattinen merkintä, jolle ei voida määrittää lukuarvoa. Voidaan myös sanoa, että "lauseke ei ole määritelty".

Esimerkiksi jakolaskun 0/0 tulos ei ole määritelty, koska jakolaskun määritelmän mukaan se voisi olla mikä luku tahansa - onhan mikä tahansa luku nollalla kerrottuna nolla. Nollalla jakaminen on myös intuitiivisesti outo tapahtuma. Potenssilaskennassa merkintä $0^0$ ei ole määritelty, sillä eri tavoilla laskemalla siitä voidaan saada joko 1 tai 0. Matematiikassa jokaiselle lausekkeelle tulee voida osoittaa tulokseksi vain yksi lukuarvo.

Epämääräisiä muotoja ovat seuraavat seitsemän:

$\frac{0}{0},\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }},0\times \mathrm{\infty },\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty },0^0,1^{\mathrm{\infty }},\text{ ja }{\mathrm{\infty }}^0.$

Eräissä ohjelmointikielissä epämääräisiä muotoja vastaa "arvo" NaN.

Epämääräiset muodot ja raja-arvot

Epämääräiset muodot liittyvät läheisesti funktioiden ja lukujonojen raja-arvojen määrittämiseen. Jos tunnetaan kahden funktion tai lukujonon raja-arvot, useimmissa tapauksissa niistä voidaan päätellä myös niistä jollakin laskutoimituksella yhdistämällä saadun lausekkeen raja-arvo. Esimerkiksi jos

$\underset{x\to C}{\lim }f(x)=a$ ja $\underset{x\to C}{\lim }g(x)=b$,

on

$\underset{x\to C}{\lim }f(x)-g(x)=a-b$ ja $\underset{x\to C}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a}{b}$,

olivatpa f ja g mitkä tahansa funktiot, joilla on nämä raja-arvot.

Jos raja-arvoksi tällä tavoin saatava lauseke kuitenkin on jokin epämääräinen muoto, ei lausekkeen raja-arvoa voida suoraan päätellä alkuperäisten funktioiden tai lukujonojen raja-arvoista. Näin käy esimerkiksi seuraavassa tapauksessa:

Esimerkkejä funktioista

Tarkastellaan seuraavia raja-arvoja: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }x=+\mathrm{\infty }$ et $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^2=+\mathrm{\infty }$.

• Kaikilla reaaliluvilla $x\ne 0$ on $\frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}$. Niinpä $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x}{x^2}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{x}=0$.
• Kaikilla reaaliluvilla $x\ne 0$, on $\frac{x^2}{x}=x$. Niinpä $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^2}{x}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }x=+\mathrm{\infty }$.

Tässä esimerkissä molemmilla lausekkeilla, $x$ ja $x^2$, on sama raja-arvo $+\mathrm{\infty }$, kun $x\to +\mathrm{\infty }$, mutta niiden osamäärillä on eri raja-arvot. Jos taas määritellään $f(x)=x$ ja $g(x)=Ax$, missä A on mielivaltainen positiivinen vakio, on kummankin funktion raja-arvo $\mathrm{\infty }$, kun $x\to \mathrm{\infty }$, mutta osamäärien raja-arvot ovat

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=A$ ja

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{g(x)}{f(x)}=1/A$,

olipa A mikä positiivinen luku tahansa.

Nämä esimerkit osoittavat, ettei kahden funktion suhteen raja-arvoa voida määrittää pelkästään sen tiedon perusteella, että molempien funktioiden raja-arvo on $\mathrm{\infty }$. Tämän vuoksi lauseketta $\mathrm{\infty }/\mathrm{\infty }$ sanotaan epämääräiseksi muodoksi.

Esimerkki lukujonoista

Olkoot $(u_n)$ ja $(v_n)$ kaksi lukujonoa, jotka on määritelty kaikille luonnollisille luville $n$ siten, että $u_n=n$ ja $v_n=n^2$. Täten on siis $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{u}_n=+\mathrm{\infty }$ ja $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{v}_n=+\mathrm{\infty }$.

Ensinnäkin kaikilla luonnollisilla luvuilla $n$ on $u_n-v_n=n-n^2=n(1-n)$. Koska $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }n=+\mathrm{\infty }$ ja $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(1-n)=-\mathrm{\infty }$, saadaan raja-arvojen tuloksi $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }n(1-n)=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(u_n-v_n)=-\mathrm{\infty }$.

Toiseksi kaikilla luonnollisilla luvuilla $n$ on $v_n-u_n=n^2-n=n(n-1)$. Koska $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }n=+\mathrm{\infty }$ ja $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(n-1)=+\mathrm{\infty }$, saadaan raja-arvojen tuloksi$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }n(n-1)=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(v_n-u_n)=+\mathrm{\infty }$.

Niinpä vaikka molempien lukujonojen raja-arvo on $+\mathrm{\infty }$, näillä erotuksilla on eri raja-arvot. Ei siis voida esittää yleistä sääntöä, josta saataisiin minkä tahansa kahden lukujonon erotuksen raja-arvot, kun molempien lukujonojen raja-arvo on $\mathrm{\infty }$. Tämän vuoksi myös lauseke $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ kuuluu epämääräisiin muotoihin.

Epämääräiset muodot

Seuraavissa lausekkeissa oletetaan, että $c$ kuuluu laajennettuun reaalilukujoukkoon $ℝ\cup \mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }$. Epämääräisiin muotoihin johtavat seuraavat raja-arvot:

Epämääräinen muoto	Etsitty raja-arvo	Ehto $f$:n avulla	Ehto $g$:n avulla
$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }(f(x)-g(x))$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }g(x)=+\mathrm{\infty }$
$0/0$	$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=0$	$\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0$
$\mathrm{\infty }/\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\pm \mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }g(x)=\pm \mathrm{\infty }$
$0\cdot \mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)g(x)$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=0$	$\underset{x\to c}{\lim }g(x)=\pm \mathrm{\infty }$
$1^{\mathrm{\infty }}$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=1$	$\underset{x\to c}{\lim }g(x)=\pm \mathrm{\infty }$
${\mathrm{\infty }}^0$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\pm \mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0$
$0^0$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=0$	$\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0$

Yksinkertaisimpia tapauksia ovat identtiset funktiot $f(x)=x$ ja $g(x)=x$. Tällöin epämääräisiin muotoihin johtavat seuraavat raja-arvot:

Epämääräinen muoto	Raja-arvot
$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x-\mathrm{\infty }=-\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{\infty }-x=\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x-x=0$
$0/0$	$\underset{x\to 0}{\lim }x/0=\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to 0}{\lim }0/x=0$	$\underset{x\to 0}{\lim }x/x=1$
$\mathrm{\infty }/\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x/\mathrm{\infty }=0$	$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{\infty }/x=\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x/x=1$
$0\cdot \mathrm{\infty }$	$\underset{x\to 0}{\lim }x\cdot \mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }0\cdot x=0$
$1^{\mathrm{\infty }}$	$\underset{x\to 1+}{\lim }{x}^{\mathrm{\infty }}=\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to 1-}{\lim }{x}^{\mathrm{\infty }}=0$	$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{1}^x=1$
${\mathrm{\infty }}^0$	$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^0=1$	$\underset{x\to 0}{\lim }{\mathrm{\infty }}^x=\mathrm{\infty }$
$0^0$	$\underset{x\to 0}{\lim }{x}^0=1$	$\underset{x\to 0+}{\lim }{0}^x=0$	$\underset{x\to 0+}{\lim }{x}^x=1$

Sovelluksia

Neperin luku ja eksponenttifunktio

Epämääräinen muoto $1^{\mathrm{\infty }}$ liittyy läheisesti Neperin lukuun ja eksponenttifunktion $e^x$. Neperin luku e määritellään seuraavasti:

$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+1/n{)}^n$,

ja voidaan osoittaa, että eksponenttifunktiolle $e^x$ pätee:

$e^x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+x/n{)}^n$

Jos määritellään lukujonot $A(n)=1+x/n$ ja $B(n)=n$, saadaan

$A(n)\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+x/n)=0$, ja tietenkin

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n=\mathrm{\infty }$,

ja kuitenkin $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }A(n{)}^{B^n}$ voi x:n arvosta riippuen saada kaikki positiiviset reaalilukuarvot.

Funktion derivaatta

Epämääräinen muoto 0/0 on erityisen huomattava, koska se liittyy läheisesti derivaatan määritelmään. Derivaatta määritellään erotusosamäärän raja-arvona:

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$.

Tässä lausekkeessa sekä osoittajan että nimittäjän raja-arvot, kun $h\to 0$, ovat selvästi nollia. Kuitenkin tämä raja-arvo eli funktion derivaatta voi funktiosta ja x:n arvosta riippuen saada minkä tahansa reaalilukuarvon.