Eisensteinin kokonaisluku

Eisensteinin kokonaisluvut muodostavat kolmiohilan.

Matematiikassa Eisensteinin luvut ovat Gotthold Eisensteinin mukaan nimetyt kompleksiluvut, jotka ovat muotoa

$z=a+b\omega$

missä a ja b ovat kokonaislukuja ja

$\omega =\frac{1}{2}(-1+i\sqrt{3})=e^{2\pi i/3}$

on ykkösen kuutiojuuri. Eisensteinin luvut muodostavat kompleksitasoon kolmiohilan toisin kuin Gaussin kokonaisluvut, jotka muodostavat neliöhilan.

Ominaisuuksia

Eisensteinin kokonaisluvut muostavat algebrallisen lukukunnan kommutatiivisen renkaan Q(ω). Eisensteinin kokonaisluvut ovat algebrallisia kokonaislukuja, sillä z = a + bω on pääpolynomin

$z^2-(2a-b)z+(a^2-ab+b^2).$

juuri. Erityisesti ω toteuttaa yhtälön

${\omega }^2+\omega +1=0.$

Eisensteinin kokonaisluvun normi on sen itseisarvon neliö, eli

$|a+b\omega {|}^2=a^2-ab+b^2.$

Siten Eisensteinin kokonaisluvun normi on kokonaisluku. Koska

$4a^2-4ab+4b^2=(2a-b{)}^2+3b^2,$

on nollasta poikkeavan Eisensteinin kokonaisluvun normi positiivinen.

Eisensteinin kokonaislukujen muodostaman renkaan yksikköryhmä on syklinen ja sen virittää ykkösen kuudesjuuri. Ryhmä on muotoa

{±1, ±ω, ±ω²}

Nämä ovat ne Eisensteinin kokonaisluvut, joiden normi on 1.