Ehrenfestin teoreema

Ehrenfestin teoreema on Paul Ehrenfestin kehittelemä menetelmä, jolla lasketaan hiukkasen observaabeleiden odotusarvojen riippuvuutta ajasta.

Yhtälöitä

Observaabelin odotusarvon aikariippuvuus yleisesti

Ehrenfestin mukaisesti observaabelin $A$ odotusarvon $⟨A⟩$ riippuvuutta ajasta kuvaa yhtälö

$\frac{\partial ⟨A⟩}{\partial t}=⟨\frac{\partial A}{\partial t}⟩+\frac{i}{\hslash }⟨[\hat{H},\hat{A}]⟩$,

missä $i$ on imaginaariosa, $\hslash$ Planckin vakion muunnos ja merkintä $[\hat{H},\hat{A}]$ tarkoittaa Hamiltonin operaattorin $\hat{H}$ ja operaattorin $\hat{A}$ kommutaattoria. Hamiltonin operaattori taas kirjoitetaan muodossa $H=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+V(\overrightarrow{x})$, missä siis $p$ on liikemäärä, $m$ massa ja $V(\overrightarrow{x})$ potentiaali.

Paikan ja liikemäärän odotusarvon aikariippuvuus

Ehrenfestin teoreeman mukaan paikan $x$ odotusarvo ajan derivaattana on

$\frac{d⟨x⟩}{dt}=⟨\frac{p}{m}⟩$

ja liikemäärän $p$ odostusarvo ajan derivaattana

$\frac{d⟨p⟩}{dt}=-⟨\frac{dV(\overrightarrow{x})}{dx}⟩$.

Aiheesta muualla

• Ehrenfest's theorem
• Proof of Ehrenfest's Theorem Malline:Wayback