Darboux’n kehys

Darboux’n kehys on pintojen differentiaaligeometriassa kolmen vektorin joukko eli kehys. Se on nimetty ranskalaisen matemaatikon Jean Gaston Darboux’n mukaan.

Darboux’n kehys pinnalla sijaitsevalle käyrälle

Olkoon S suunnistuva pinta kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa E³. Darboux’n kehys pinnalla S voidaan määritellä kaikille pinnan S. Tämän jälkeen on mielekästä tarkastella pääsuuntien suuntaisia käyriä.

Määritelmä

Jokaiseen suunnistuvan pinnan pisteeseen voidaan liittää yksikäsitteinen yksikkövektori u (suunnistuvan pinnan määritelmä). Jos γ kaarenpituuden suhteen parametrisoitu käyrä pinnalla S, Darboux’n kehys käyrälle γ pisteessä γ(s) määritellään asettamalla

$𝐓(s)={\gamma }^{\prime }(s),$    (yksikkötangentti)

$𝐮(s)=𝐮(\gamma (s)),$    (yksikkönormaali)

$𝐭(s)=𝐮(s)\times 𝐓(s),$    (tangenttinormaali)

Kolmikko T,u,t on ortonormaali kanta, joten se on luonteva kehys käyrän γ näkökulmasta.

Geodeettinen ja normaalikaarevuus sekä suhteellinen torsio

Huomaa, että käyrälle määritelty Darboux’n kehys ei vielä anna luonnollista liikkuvaa kehystä pinnalla, koska se riippuu tangenttivektorin valinnasta. Saadaksemme luonnollisen kehyksen pinnalle, vertaamme käyrän γ Darboux’n kehystä sen Frenet–Serret kehykseen. Olkoon

$𝐓(s)={\gamma }^{\prime }(s),$    (yksikkötangentti, kuten edellä)

$𝐍(s)=\frac{{𝐓}^{\prime }(s)}{\Vert {𝐓}^{\prime }(s)\Vert },$    (Frenet-normaalivektori)

$𝐁(s)=𝐓(s)\times 𝐍(s),$    (Frenet-binormaalivektori).

Koska tangenttivektorit ovat kehyksissä samat, on olemassa yksikäsitteinen kulma α siten, että tasojen N ja B kiertäminen tuottaa parit t ja u:

$\left[\begin{array}{c}𝐓\\ 𝐭\\ 𝐮\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \alpha & \sin \alpha \\ 0& -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}𝐓\\ 𝐍\\ 𝐁\end{array}\right].$

Derivoimalla ja käyttämällä Frenet–Serret-kaavoja saadaan

$d\left[\begin{array}{c}𝐓\\ 𝐭\\ 𝐮\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& \kappa \cos \alpha ds& -\kappa \sin \alpha ds\\ -\kappa \cos \alpha ds& 0& \tau ds+d\alpha \\ \kappa \sin \alpha ds& -\tau ds-d\alpha & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}𝐓\\ 𝐭\\ 𝐮\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}0& {\kappa }_{g}ds& {\kappa }_{n}ds\\ -{\kappa }_{g}ds& 0& {\tau }_{r}ds\\ -{\kappa }_{n}ds& -{\tau }_{r}ds& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}𝐓\\ 𝐭\\ 𝐮\end{array}\right]$

missä:

• κ_g on käyrän geodeettinen kaarevuus,
• κ_n on käyrän normaalikaarevuus ja
• τ_r on käyrän suhteellinen torsio (ts. geodeettinen torsio).

Lähteet

• Malline:Cite book
• Malline:Cite book
• Malline:Cite book
• Malline:Cite book
• Malline:Cite book
• Malline:Cite book