Christoffelin symboli

Christoffelin symboli on erikoistapaus affiinista konnektiosta. Christofelin symboli on keskeinen tekijä kovariantissa derivoinnissa ja se sisältyy myös geodeettisen viivan yhtälöön, jonka ratkaisuna saadaan tutkittavassa avaruudessa lyhin reitti kahden pisteen välillä. Myös Riemannin kaarevuustensori määritellään Christoffelin symbolien avulla. Käytännön sovelluksissa niitä tulee vastaan erityisesti yleisessä suhteellisuusteoriassa. Symboli on nimetty saksalais-ranskalaisen matemaatikon Elwin Bruno Christoffelin (1829–1900) mukaan.

Olkoon $n$-ulotteisen avaruuden $(n-1)$-ulotteinen aliavaruus, siis pinta, annettu parametrimuodossa

$\mathbf{\text{u}}=\mathbf{\text{u}}(x^{\alpha })$.

Lasketaan pintaa kuvaava uusi suure

$\frac{{\partial }^2\mathbf{\text{u}}}{\partial x^{\mu }\partial x^{\nu }}\cdot \frac{\partial \mathbf{\text{u}}}{\partial x^{\alpha }}={\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu \alpha }$.

Tässä esiintyvä $\cdot$ tarkoittaa tavallista kahden vektorin välistä pistetuloa. Skalaarifunktiota ${\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu \alpha }$ kutsutaan Christoffelin symboliksi.

Käyttämällä Einsteinin summaussääntöä Christoffelin symboli voidaan lausua metrisen tensorin $g$ avulla siten, että

${\mathrm{\Gamma }}^{\alpha }{}_{\mu \nu }=\frac{1}{2}{g}^{\alpha \beta }({\partial }_{\mu }{g}_{\beta \nu }+{\partial }_{\nu }{g}_{\beta \mu }-{\partial }_{\beta }{g}_{\mu \nu })$

Tästä muodosta symboleita ei kuitenkaan yleensä käytännössä kannata laskea. Huomaa, että vaikka Christoffelin symboli ensinäkemältä näyttääkin tensorilta, se määritelmänsä perusteella on vain tavallinen skalaarifunktio.

Christofelin symbolin ominaisuuksia

• Christoffelin symboli on symmetrinen indeksien vaihdon suhteen

${\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\alpha }={\mathrm{\Gamma }}_{\nu \mu }^{\alpha }$

• Metrisen tensorin derivointi tuottaa Christoffelin symboleita

${\partial }_{\alpha }{g}_{\mu \nu }={\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \mu \nu }+{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \nu \mu }$