Cesàron keskiarvo

Matematiikassa lukujonon (a_n) Cesàron keskiarvot ovat termejä jonosta (c_n), jossa

$c_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{a}_i$

on jonon (a_n) n:nän ensimmäisen jäsenen aritmeettinen keskiarvo. Se on nimetty italialaisen matemaatikon Ernesto Cesàron (1859-1906) mukaan. Yleinen tulos osoittaa, että jos

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=A$

niin myös

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{c}_n=A.$

Siis Cesàron keskiarvon ottaminen säilyttää suppenevien lukujonojen raja-arvot. Cesàron keskiarvojen ottaminen summamenetelmänä hajaantuvien sarjojen teoriassa perustuu tähän. Jos Cesàron keskiarvojen jono suppenee, sarjan sanotaan olevan Cesàro yhteenlaskettava. On paljon esimerkkejä, joissa Cesàron keskiarvojen jono suppenee, mutta alkuperäinen jono ei: esimerkiksi jono

$a_n=\{\begin{array}{cc}1& \text{jos }n=2k-1,\\ 0& \text{jos }n=2k\end{array}$

hajaantuu, mutta keskiarvoilla on raja-arvo ½. (Katso myös Grandin sarja.)

Toinen esimerkki on jono $a_n=(-1{)}^n$ , jolla on Cesàron summa ½ ja Cesàron keskiarvo 0.

Cesàron keskiarvoja sovelletaan usein Fourier'n sarjoihin, sillä keskiarvot ovat tämänkaltaisten sarjojen yhteenlaskussa voimakkaampia kuin pisteittäinen suppeneminen. Vastaava ydin on Fejérin ydin, joka korvaa Dirichletin ytimen; se on positiivinen, kun taas Dirichletin ydin saa sekä negatiivisia että positiivisia arvoja. Approksimaatio identiteettien yleinen teoria pitää tämän takia Cesàron keskiarvon ominaisuuksia parempina Fourier’n sarjojen yhteenlaskuun.

Cesàron keskiarvon yleistys on Stolz-Cesàron lause.

Rieszin keskiarvo on voimakkaampi, mutta huomattavan samanlainen summamenetelmä.

Lähteet

englanninkielinen wikipedia

Cesàron yhteenlasku