Carathéodoryn konstruktio

Malline:LähteetönCarathéodoryn konstruktio on tapa luoda metrisiin avaruuksiin Borel-mittoja eräänlaisten esimittojen avulla. Menetelmän kehitti kreikkalainen matemaatikko Constantin Carathéodory vuonna 1914.

Määritelmä

Olkoon $(X,d)$ metrinen avaruus. Olkoon $ℱ$ kokoelma $X$:n osajoukkoja ja kuvaus $\zeta :ℱ\to [0,\mathrm{\infty }]$ (ns. esimitta). Näiltä oletetaan seuraavat kaksi ehtoa:

(1) Jokaiselle $\delta >0$ on olemassa joukot $E_i\in ℱ$, $i\in I$, I on numeroituva siten, että

$X=\bigcup _{i\in I}{E}_i$ ja $d(E_i)\le \delta$.

(2) Jokaiselle $\delta >0$ on olemassa joukko $E\in ℱ$ siten, että

$\zeta (E)\le \delta$ ja $d(E)\le \delta$.

Olkoon nyt $\delta >0$ kiinteä. Määritellään, että joukon $A\subset X$ $\delta$-peite on mikä tahansa numeroituva osakokoelma $ℰ\subset ℱ$, jolla on seuraavat ominaisuudet:

- kokoelma $ℰ$ on joukon A peite, eli pätee $A\subset \cup ℰ$,

- läpimitta $d(E)\le \delta$ jokaisella $E\in ℰ$.

Määritellään nyt funktio ${\psi }_{\delta }:𝒫(X)\to [0,\mathrm{\infty }],$

${\psi }_{\delta }(A)=\inf \{\sum _{E\in ℰ}\zeta (E):ℰ\text{ on }A\text{:n }\delta \text{-peite}\}$.

Edellä annettu ehto (1) takaa $\delta$-peitteen olemassaolon myös joukolle X, joten kuvaus ${\psi }_{\delta }$ on hyvinmääritelty funktio. Voidaan osoittaa, että funktio ${\psi }_{\delta }$ on ulkomitta X:ssä. Nimittäin edellä annettu ehto (2) takaa sen, että ${\psi }_{\delta }(\mathrm{\varnothing })=0$ ja muiden ehtojen todistaminen käy konstruktion vuoksi hyvin samalla tavalla kuin Lebesguen ulkomitan osoittaminen ulkomitaksi.

Huomataan, että jos $0<{\delta }_1\le {\delta }_2$, niin ${\psi }_{{\delta }_2}(A)\le {\psi }_{{\delta }_1}(A)$ kaikilla $A\subset X$. Toisin sanoen kuvaus $\delta \mapsto {\psi }_{\delta }(A)$ on kasvava $\delta$:aa pienennettäessä. Näin ollen kaikilla $A\subset X$ on olemassa raja-arvo $\underset{\delta \to 0}{\lim }{\psi }_{\delta }(A)$. Määrittelemmekin nyt siis funktion $\psi :𝒫(X)\to [0,\mathrm{\infty }],$

$\psi (A)=\underset{\delta \to 0}{\lim }{\psi }_{\delta }(A)$.

Koska funktiot ${\psi }_{\delta }$ ovat ulkomittoja X:ssä, niin voidaan helposti osoittaa, että funktio $\psi$ on ulkomitta X:ssä. Mittateoriassa osoitetaan, että funktio $\psi$ rajoitettuna $\psi$-mitallisiin joukkoihin on Borel-mitta. Lisäksi jos kaikki joukkokokoelman $ℱ$ jäsenet ovat Borel-joukkoja, niin voidaan osoittaa, että $\psi$ on itse asiassa Borel-säännöllinen.

Sovelluksia

Carathéodoryn konstruktio tuottaa esimerkiksi Hausdorffin ulkomitan. Jos valitsemme määritelmässä joukkoperheeksi $ℱ$ kaikkien X:n osajoukkojen muodostaman kokoelman $𝒫(X)$ ja asetamme funktion $\zeta$ kaavaksi $\zeta (E)=d(E{)}^s$, $0\le s<\mathrm{\infty }$, niin saatu funktio ${\psi }_{\delta }={\mathscr{H}}_{\delta }^s$ ja siis $\psi ={\mathscr{H}}^s$.

Lisäksi voimme saada Carathéodoryn konstruktiolla ns. integraaligeometriset mitat avaruuteen ${ℝ}^n$. Olkoon $m$ luonnollinen luku, jolla $0<m<n$. Asetetaan kokoelmaksi $ℱ$ ${ℝ}^n$:n Borelin perhe $\mathrm{Bor}{ℝ}^n$. Määritellään parametrille $t\in [1,\mathrm{\infty }]$ esimitta ${\zeta }_t^m:\mathrm{Bor}{ℝ}^n\to [0,\mathrm{\infty }]$,

${\zeta }_t^m(E)={\left(\underset{G(n,m)}{\int }{\mathscr{H}}^m{(P_{V}E)}^t\text{d}{\gamma }_{n,m}V\right)}^{1/t}\text{ jos }1\le t<\mathrm{\infty }$

ja

${\zeta }_{\mathrm{\infty }}^m(E)=\text{ess sup}\{{\mathscr{H}}^m(P_{V}E):V\in G(n,m)\}$,

missä

$G(n,m)=\{V\subset {ℝ}^n:V\text{ on lineaarinen aliavaruus, }\text{dim}V=m\}$ (ns. Grassmannin avaruus)

ja jokaiselle $V\in G(n,m)$ kuvaus $P_V$ on ortogonaalinen projektio aliavaruudelle $V$. Annetuissa integraaleissa integroidaan yli Grassmannin avaruuden $G(n,m)$ varustettuna rotaatioinvariantilla mitalla ${\gamma }_{n,m}$.

Näillä esimitoilla ${\zeta }_t^m$ saatuja Borelin mittoja $\psi$, joita merkitään symboleilla ${ℐ}_t^m$, kutsutaan (m-ulotteisiksi) integraaligeometrisiksi mitoiksi parametrilla t.