Cahenin vakio

Matematiikassa Cahenin vakio on määritelty yksikkömurtolukujen muodostaman alternoivana sarjan, ja se on saatu Sylvesterin jonosta. Cahenin vakio on

$C=\sum \frac{(-1{)}^i}{s_i-1}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}-\frac{1}{42}+\frac{1}{1806}-\cdots \approx 0,64341054629.$

Cahenin vakio on nimetty Eugène Cahenin mukaan, joka tutki sarjaa.

Cahenin vakio on transkendenttinen. (Davison ja Shallit 1991). Se on yksi harvoista transkendenttiluvuista, joiden ketjumurtolukuesitys tunnetaan täysin: Jos muodostetaan sarja

1, 1, 2, 3, 14, 129, 25298, 420984147, ... Malline:OEIS,

jossa termit muodostavat rekursion

$q_{n+2}=q_n^2{q}_{n+1}+q_n$,

niin Cahenin vakion ketjumurtolukuesitys on

$[0,1,q_0^2,q_1^2,q_2^2,\dots ]$

(Davison ja Shallit 1991).

Lähteet

• Davison, J. Les; Shallit, Jeffrey O. (1991). "Continued fractions for some alternating series". Monatshefte für Mathematik 111: 119–126. doi:10.1007/BF01332350