Alkulukufunktio

Alkulukufunktio on matematiikan funktio, jolla lasketaan reaalilukua x pienempien tai yhtäsuurten alkulukujen lukumäärää. Funktion merkintä on $\pi (x)$ (Kaavassa π(x) ei viitata lukuun π.)

Funktion π(n) ensimmäiset 60 lukua.

Historiaa

1700-luvulla löysivät Gauss ja Legendre että

$x/\ln (x)$

on hyvä approksimaatio alkulukufunktiolle; tarkemmin,

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\pi (x)}{x/\ln (x)}=1.$

Tämä lauseke tunnetaan alkulukulauseena; se todistettiin 1800-luvun lopulla oikeaksi. Väite voidaan kirjoittaa yhtäpitävästi muodossa

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\pi (x)}{\mathrm{li}(x)}=1,$

jossa $\mathrm{li}(x)$on logaritminen integraalifunktio.

Littlewoodin lause

John Littlewood todisti 1914 että on olemassa mielivaltaisen suuria lukuja x, joille

$\pi (x)>\mathrm{li}(x)+\frac{1}{3}\frac{\sqrt{x}}{\log x}\log \log \log x$

ja mielivaltaisen suuria lukuja x, joille

$\pi (x)<\mathrm{li}(x)-\frac{1}{3}\frac{\sqrt{x}}{\log x}\log \log \log x.$

Tästä seuraa että erotuksen π(x) − li(x) merkki vaihtuu äärettömän usein.

Riemannin hypoteesi

Riemannin hypoteesi on ekvivalentti seuraavaan kaavaan:

$\pi (x)=\mathrm{li}(x)+O(\sqrt{x}\log x).$

Riemannin hypoteesi siis antaisi alkulukufunktion antamalle arviolle alkulukujen määrästä huomattavasti nykyistä tiukemmat virherajat.