abc-konjektuuri

Abc-konjektuuri on lukuteorian ongelma, jonka määrittelivät Joseph Oesterlé ja David Masser vuonna 1985. Sen ratkaisun sanoo löytäneensä Kioton yliopistossa työskentelevä japanilainen matemaatikko Shinichi Mochizuki elokuussa 2012.

Määritelmä

Olkoot a, b ja c sellaiset kolme keskenään jaotonta positiivista kokonaislukua, että $a+b=c$, ja rad(abc) (abc:n radikaali) neliövapaa tulo luvun erillisistä alkutekijöistä, toisin sanoen luku, joka saadaan kertomalla kaikkien kolmen luvun alkutekijöitä, mutta kutakin vain kertaalleen.

Rad(abc) on tyypillisesti suurempi kuin c. Kuitenkin suhde rad(abc)/c saadaan mielivaltaisen lähelle nollaa valitsemalla a ja b sopivasti. Esimerkiksi jos a = 5 ja b = 27 = 3³, on c = 32 = 2⁵ ja tällöin rad(abc) = 30 on vähemmän kuin c.

abc-konjektuurin mukaan kaikilla ε > 0 suhde

rad(abc)^{1 + ε}/c

on alhaalta rajoitettu jollakin vakiolla k > 0, kaikilla a, b ja c = a + b.

Formaalimmin kaikilla ε>0 on olemassa äärellinen K_ε siten, että kaikilla keskenään jaottomilla kokonaisluvuilla a + b = c

$c<K_{ϵ}\mathrm{rad}(abc{)}^{1+ϵ}.$

Seurauksia

Vaikkei otaksumaa kyetty todistamaan miltei kolmeen vuosikymmeneen, sillä on ollut useita seurauksia, kuten Rothin lause, Mordellin otaksuma ja Fermat'n suuri lause, jotka kaikki on myös kyetty todistamaan. Abc-otaksuma yhdistää lukuteorian syvällisiä tuloksia toisiinsa.

Muita seurauksia:

• Erdősin–Woodsin konjektuuri (rajoitetulle määrälle tapauksista)
• Äärettömän monen ei-Wieferichin alkuluvun olemassaolo
• Hallin konjektuurin heikko muoto

Tarkemmat määritelmät

Alan Baker esitti vuonna 1996 tarkemman otaksuman, jonka mukaan epäyhtälössä voidaan korvata rad(abc) termillä

ε^−ωrad(abc),

jossa ω on lukumäärä erillisille alkuluvuille, jotka jakavat jonkin luvun a, b tai c. Andrew Granvillen kehittämän otaksuman mukaan lausekkeen oikea puoli voidaan korvata termillä

O(rad(abc) Θ(rad(abc)),

jossa Θ(n) on lukumäärä (korkeintaan n) niille kokonaisluvuille, jotka ovat jaollisia vain niillä alkuluvuilla, jotka jakavat n:n.

Abc-konjektuuria pyritään ratkaisemaan hajautetun laskennan projektissa joka tunnetaan nimellä ABC@home.

Ratkaisu

Elokuussa 2012 Kioton yliopistossa työskentelevä japanilainen matemaatikko Shinichi Mochizuki julkaisi abc-konjektuuria käsittelevän 500-sivuisen työn, joka hänen mukaansa todistaa abc-konjektuurin. Mochizuki hyödynsi ratkaisussaan muotoa

$y^2=x^3+ax+b$

olevia elliptisiä käyriä. Hän kehitti työtään varten täysin uusia matemaattisia menetelmiä ja käsitteitä, minkä vuoksi saattaa kulua vuosia, ennen kuin hänen todistuksensa voidaan joko vahvistaa tai hylätä. Mochizuki kuitenkin tunnetaan tutkijana, joka on aiemmin selvittänyt erittäin haastavia matemaattisia ongelmia. Columbian yliopiston matemaatikko Dorian Goldfeld sanoi Nature-lehdelle Mochizukin todistuksen olevan yksi 2000-luvun ensivuosisadan hämmästyttävimmistä matemaattisista saavutuksista, mikäli se on oikea.