Aallokemuunnos

Aallokemuunnos on 1980-luvulta lähtien yleistynyt sovelletun matematiikan menetelmä, jota hyödynnetään mm. digitaalisessa signaalinkäsittelyssä ja harmonisessa analyysissä. Se on korvaamassa monessa sovellutuksessa Fourier-muunnoksen. Toisin kuin Fourier-muunnoksessa, joka määrittelee signaalin jatkuvien trigonometristen funktioiden lineaarikombinaationa, aallokemuunnoksessa signaalin muodostavat osafunktiot ovat lokaaleja.

Aallokemuunnos tehdään suodattamalla syötesignaali käyttäen kantafunktiosta johdettujen aalloke- ja skaalausfunktioiden eri tavalla skaalattuja ja aika-avaruudessa siirrettyjä variaatioita.

Yleisesti käytössä on ns. diskreetti aallokemuunnos, jossa aallokkeiden skaalaus ja siirto määritellään diskreettien kokonaislukuparametrien avulla. On myös olemassa ns. jatkuva aallokemuunnos, jossa skaalaus- ja siirtoparametrit voivat olla mitä tahansa reaalilukuja.

Diskreetti aallokemuunnos

Olkoon $\psi \in L^2(ℝ)$ aallokefunktio tai "äiti-aalloke". Sen muodostomaa funktioperhettä

$\{{\psi }_{j,k}(x)={\sqrt{2}}^j\psi (2^{j}x-k):j\in \mathbb{Z},k\in \mathbb{Z}\}$

kutsutaan aallokejärjestelmäksi, jonka avulla voidaan määritellä diskreetti aallokemuunnos:

$𝒲(f)(j,k)=⟨f,{\psi }_{j,k}⟩,$

missä $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ on funktioavaruuden $L^2(ℝ)$ sisätulo. Aallokemuunnoksen arvoja $⟨f,{\psi }_{j,k}⟩$ kutsutaan funktion $f$ aallokekertoimiksi. Fourier-muunnoksen tavoin niiden avulla on mahdollista analysoida funktion ominaisuuksia eri skaaloissa tai taajuuksilla, mutta lokaalisti: jokainen aalloke ${\psi }_{j,k}$ on keskitetty ainoastaan $\sim 2^{-j}$ pituiselle osalle avaruutta $ℝ$. Parametrin $j$ kasvaessa aallokkeiden koko pienenee ja niillä voidaan analysoida funktiota $f$ entistä pienemmillä väleillä, eli korkeammalla resoluutiolla.

Erityisen suosittuja ovat aallokefunktiot $\psi$, joiden muodostama aallokejärjestelmä on avaruuden $L^2(ℝ)$ (tai sen aliavaruuden) kanta. Tällaisia aallokeperheitä on vuosien mittaan kehitetty lukuisia. Esim. Alfréd Haarin kehittämä Haarin aalloke, Ingrid Daubechiesin kompaktikantajaiset aallokeperheet ja Jean Morletin kompleksilukuarvoinen Morlet-aallokke..

Kannan määritelmän mukaisesti kaikki avaruuden alkiot voidaan esittää kannan avulla. Aallokkeiden tapauksessa mikä tahansa $f\in L^2(ℝ)$ voidaan ilmaista sen aallokertoimien avulla:

$f(x)=\sum _{j\in \mathbb{Z}}\sum _{k\in \mathbb{Z}}⟨f,{\psi }_{j,k}⟩{\psi }_{j,k}(x).$

Tällöin lineaarinen analyysioperaattori $𝒲:L^2(ℝ)⟶{\ell }^2({\mathbb{Z}}^2)$ on Hilbertin avaruuksien välinen unitaarinen operaattori, jonka käänteismuunnos (eli synteesioperaattori) on

${𝒲}^{-1}(𝒄)(x)=\sum _{j\in \mathbb{Z}}\sum _{k\in \mathbb{Z}}{c}_{j,k}{\psi }_{j,k}(x)$,

millä tahansa $𝒄=(c_{j,k})\in {\ell }^2({\mathbb{Z}}^2)$.

Kirjallisuutta

• Malline:Kirjaviite

• Malline:Kirjaviite

• Malline:Kirjaviite