Ptolemaioksen lause

Syklinen nelikulmio, jolle pätee Ptolemaioksen ensimmäinen- ja toinen lause.

Yleinen nelikulmio, joka ei ole syklinen. Tälle pätee Ptolemaioksen epäyhtälö.

Ptolemaioksen lauseet ovat geometriassa nelikulmioihin liittyviä tuloksia. Kuuluisimpia Klaudios Ptolemaioksen nimiin kirjattuja tuloksia ovat syklisiin nelikulmioihin liittyvä yhtälö ja yleisiin nelikulmioihin liittyvä epäyhtälö. Näiden avulla hän muun muassa johti eräitä trigonometrian summakaavoja.

Ptolemaioksen lause

Ptolemaios todisti konveksille sykliselle nelikulmiolle seuraavan lauseen (kuvan merkinnöillä):

$AB\cdot CD+BC\cdot AD=AC\cdot BD,$

eli vastaisten sivujen tulojen summa on sama kuin lävistäjien tulo (todistus ).

Pythagoraan lause

Jos nelikulmio on (syklinen) suorakulmio, ovat vastaiset sivut yhtäpitkät. Nimeämällä kärjen A mukaan AB = CD ja AC = BD ja toteamalla lävistäjien olevan yhtäpitkät AD = BC, saadaan

$AB\cdot AB+AD\cdot AD=AC\cdot AC$

eli

$A{B}^2+A{D}^2=A{C}^2.$

Tämä on Pythagoraan lause suorakulmaiselle kolmiolle, jota mainitut sivut merkitsevät.

Ptolemaioksen toinen lause

Ptolemaios huomasi toisenkin ominaisuuden. Syklisen nelikulmion lävistäjät ovat verrannollisia lävistäjän päätepisteistä lähtevien sivujen tulojen summaan. Esimerkiksi lävistäjän AC päätepisteestä A lähtee sivut AB ja AD ja päätepisteestä C lähtee sivut CB ja CD. Verrannollisuus on esitettävissä

$AC\sim AB\cdot AD+CB\cdot CD.$

Lävistäjien suhde on siten (todistus )

$\frac{AC}{BD}=\frac{AB\cdot AD+CB\cdot CD}{BA\cdot BC+DA\cdot DC}.$

Ptolemaioksen epäyhtälö

Ensimmäisen lauseen mukaan nelikulmion ABCD sivujen ja lävistäjien pituuksille voidaan esittää

$AB\cdot CD+BC\cdot AD\ge AC\cdot BD$.

Epäyhtälö on voimassa kaikille nelikulmioille, mutta yhtäsuuruus on voimassa vain syklisille nelikulmioille.

Ptolemaioksen epäyhtälön todistus

Tarkastellaan nelikulmiota ABCD. Konstruoidaan nyt piste E siten, että kolmiot ACD ja AEB ovat yhdenmuotoiset($\mathrm{\angle }ABE=\mathrm{\angle }CDA$ ja $\mathrm{\angle }BEA=\mathrm{\angle }CAD$). Tällöin $\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AD}=\frac{BE}{DC},$ joten $BE=\frac{AB\cdot DC}{AD}.$ Koska myös $\mathrm{\angle }EAC=\mathrm{\angle }BAD$, on $\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AE}$, sillä kolmiot $EAC$ ja $BAD$ ovat yhteneviä. Siten $EC=\frac{AC\cdot DB}{AD}.$ Siten $ABCD$ on jännenelikulmio, joten $\mathrm{\angle }ABE+\mathrm{\angle }CBA=\mathrm{\angle }ADC+\mathrm{\angle }CBA=180^{\circ }.$ Siten pisteet $C,B$ ja $E$ ovat samalla suoralla, joten $EC=EB+BC$. Nyt saadaan siis $\frac{AC\cdot DB}{AD}=\frac{AB\cdot DC}{AD}+BC.$ Kertomalla yhtälö puolittain $AD$:llä saadaan $AC\cdot DB=AB\cdot DC+BC\cdot AD.$

Oletetaan sitten, että $ABCD$ ei ole jännenelikulmio. Tällöin $\mathrm{\angle }ABE+\mathrm{\angle }CBA=\mathrm{\angle }ADC+\mathrm{\angle }CBA\ne 180^{\circ },$ joten pisteet $E$, $B$ ja $C$ muodostavat kolmion. Siten kolmioepäyhtälön nojalla on voimassa $EC<EB+BC$. Edelleen saadaan aiemmin johdetusta identiteetistä $\frac{AC\cdot DB}{AD}<\frac{AB\cdot DC}{AD}+BC.$ Siis $AC\cdot DB<AB\cdot DC+BC\cdot AD.$ Nämä yhdessä antavat Ptolemaioksen ensimmäisen lauseen: $AC\cdot DB\le AB\cdot DC+BC\cdot AD$, missä yhtäsuuruus esiintyy vain jos $ABCD$ on jännenelikulmio.