Cauchyn integraalikaava

Cauchyn integraalikaava on funktioteorian tulos, jolla pystyy laskemaan analyyttisen funktion arvon annetun alueen sisäpisteissä, jos funktion arvot tunnetaan alueen reunalla.

Formaalisti: Olkoon $f$ analyyttinen alueessa $A$ ja $D$ kiekko, jonka sulkeuma sisältyy $A$:han. Tällöin kaikilla $z\in D$

$f(z)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\partial D}\frac{f(\xi )}{\xi -z}$ d$\xi$.

Cauchyn integraalikaavasta seuraa, että analyyttinen funktio on äärettömän monta kertaa derivoituva. n:nnelle derivaatalle voidaan johtaa esitys

$f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_{\partial D}\frac{f(\xi )}{(\xi -z{)}^{n+1}}d\xi .$

Näitä kaavoja voidaan käyttää hyväksi residylauseen todistamisessa.

Kirjallisuutta

• Malline:Kirjaviite