Catalanin otaksuma

Catalanin otaksuma on Eugène Charles Catalanin esittämä otaksuma, jonka mukaan Diofantoksen yhtälön

$x^n-y^m=1$

ainoa positiivinen kokonaislukuratkaisu on

$x=3$, $y=2$, $n=2$ ja $m=3$, kun $n,m>1$ ja $x,y\ne 0$.

Catalanin otaksuman todisti vuonna 2002 Preda Mihăilescu syklotomisten kuntien ja Galois'n modulien teorian avulla.

Todistushahmotelma

Mihăilescun todistus perustuu viiteen päälauseeseen: Olkoot $p$ ja $q$ parittomia alkulukuja ja $x,y$ nollasta poikkeavia kokonaislukuja.

Lause 1: On voimassa $p^{q-1}\equiv 1(\mathrm{mod}{q}^2)$ ja $q^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}{p}^2)$.

Lause 2: On voimassa $p\equiv 1(\mathrm{mod}q)$ tai $q\equiv 1(\mathrm{mod}p)$.

Lause 3: On voimassa $p<4q^2$ ja $q<4p^2$.

Päälause: Yhtälön $x^p-y^q=1$ ne kokonaislukuratkaisut, joille $p,q\ge 2$ ja $x,y\ne 0$ ovat $p=2,q=3,x=\pm 3,y=2$.

Lause 4: Olkoot $p$ ja $q$ parittomia alkulukuja. Oletetaan, että $p\le 41$ tai $q\le 41$. Tällöin yhtälöllä $x^p-y^q=1$ ei ole nollasta poikkeavia ratkaisuja, kun $x,y\in \mathbb{Z}$.

Näiden lauseiden todistukset perustuvat pääosin Rungen menetelmään ja syklotomisiin kuntiin.