Tasajakauman universaalisuus

Tasajakauman universaalisuus on todennäköisyysteorian lause, jonka mukaan minkä tahansa satunnaismuuttujan jatkuva todennäköisyysjakauma voidaan muuntaa noudattamaan yksikkötasajakaumaa. Lause pitää paikkansa täsmällisesti satunnaisotokselle, jos annettua aineistoa vastaava jakauma tunnetaan täsmällisesti. Mikäli jakauma on vain sovitettu aineistoon, pitää lause paikkansa likimääräisesti suurilla otosko’oilla. Lauseen esitteli Ronald Fisher vuonna 1932.

Määritelmä

Olkoon satunnaismuuttujan $X$ jakauma jatkuva ja sitä vastaava kertymäfunktio $F_X$. Tällöin satunnaismuuttujaa

$Y:=F_X(X)$

vastaava jakauma noudattaa yksikkötasajakaumaa.

Kääntäen voidaan sanoa, että mikäli satunnaismuuttuja $Y\sim \text{Tas}(0,1)$, satunnaismuuttujaa $F_X^{-1}(Y)$ vastaava jakauma noudattaa samaa jakaumaa kuin $X$.

Todistus (kääntyvälle kertymäfunktiolle)

Olkoon $X$ mikä tahansa satunnaismuuttuja, jonka jakauma on jatkuva. Määritellään $Y=F_X(X)$. Olkoon $y\in [0,1]$. Jos $F_X^{-1}(y)$ on olemassa, niin:

$\begin{array}{cc}{F}_Y(y)& =\mathbb{P}(Y\le y)\\ & =\mathbb{P}(F_X(X)\le y)\\ & =\mathbb{P}(X\le F_X^{-1}(y))\\ & =F_X(F_X^{-1}(y))\\ & =y\end{array}$

Siis satunnaismuuttujan $Y$ kertymäfunktio on yksikkötasajakauman kertymäfunktio, jolloin $Y\sim \text{Tas}(0,1)$. $◻$

Esimerkki

Olkoon $X\sim \text{Exp}(1)$ ja $Y\sim \text{Tas}(0,1)$. Satunnaismuuttujaa $X$ vastaava kertymäfunktio on:

$F_X(x)=1-\exp (-x)$.

Tämän käänteisfunktio on:

$F_X^{-1}(y)=\ln (1-y)$.

Nyt tasajakauman universaalisuudesta seuraa:

$F_X(X)=1-\exp (-X)\sim \text{Tas}(0,1)$

ja vastaavasti

$F_X^{-1}(Y)=\ln (1-Y)\sim \text{Exp}(1)$.