Täysin epäyhtenäinen avaruus

Täysin epäyhtenäinen avaruus on matematiikassa topologinen avaruus, jolla ei ole muita yhtenäisiä osajoukkoja kuin yhden pisteen joukot sekä tyhjä joukko. Jokaisessa avaruudessa tyhjä joukko ja yhden pisteen joukot ovat yhtenäisiä; täysin epäyhtenäisessä avaruudessa nämä ovat ainoat yhtenäiset joukot.

Jokainen diskreetti avaruus on täysin epäyhtenäinen. Täysin epäyhtenäisiä ovat myös esimerkiksi rationaalilukujen joukko $\mathbb{Q}$ sekä Cantorin joukko, vaikka ne eivät olekaan diskreettejä avaruuksia.

Muodollinen määritelmä

Topologinen avaruus X on täysin epäyhtenäinen, jos sen kaikki yhtenäiset komponentit ovat yhden pisteen joukkoja. Analogisesti topologista avaruutta X sanotaan täysin polkuepäyhtenäiseksi, jos sen kaikki polkukomponentit ovat yhden pisteen joukkoja.

Esimerkkejä

Täysin epäyhtenäisiä avaruuksia ovat esimerkiksi:

• kaikki diskreettiavaruudet
• rationaalilukujen joukko $\mathbb{Q}$
• p-adisten lukujen joukko sekä yleisemmin muutkin profiniittiset joukot
• Cantorin joukko
• Bairen avaruus
• Sorgenfreyn suora
• kaikki nollaulotteiset T1-avaruuret
• ekstremaalisesti epäyhtenäiset Hausdorff-avaruudet
• Stonen avaruudet
• Knasterin–Kuratowskin viuhka on esimerkki yhtenäisestä avaruudesta, joka muuttuu täysin epäyhtenäiseksi, jos siitä poistetaan yksi ainoa piste.
• Erdősin avaruus ℓ^p(Z)∩${\mathbb{Q}}^{\omega }$ on täysin epäyhtenäinen, mutta ei nollaulotteinen avaruus.

Ominaisuudet

Täysin epäyhtenäisen avaruuden kaikki aliavaruudet ovat täysin epäyhtenäisiä, samoin täysin epäyhtenäisten avaruuksien karteesinen tulo varustettuna tulotopologialla sekä täysin epäyhtenäisten avaruuksien erillinen yhdiste.

Täysin epäyhtenäiset avaruudet ovat T₁-avaruuksia, koska yhden pisteen joukot ovat suljettuja joukkoja.

Täysin epäyhtenäisen avaruuden kuva jatkuvassa kuvauksessa ei välttämättä ole täysin epäyhtenäinen. Itse assiassa jokainen kompakti metrinen avaruus on Cantorin joukon kuva jossakin jatkuvassa kuvauksessa.

Lokaalisti kompakti Hausdorff-avaruus on nollaulotteinen, jos ja vain jos se on täysin epäyhtenäinen.

Jokainen täysin epäyhtenäinen avaruus on homemorfinen jonkin diskreettien avaruuksien numeroituvan tulon kanssa.

Täysin epäyhtenäisessä avaruudessa ei jokainen avoin joukko välttämättä ole samalla suljettu. Myöskään avoimen joukon sulkeuma ei välttämättä ole avoin, toisin sanoen kaikki täysin epäyhtenäiset Hausdorff-avaruudet eivät ole ekstremaalisesti epäyhtenäisiä.

Epäyhtenäisen avaruuden konstruointi

Olkoon $X$ mielivaltainen topologinen avaruus. Määritellään ekvivalenssirelaatio $\sim$ niin, että $x\sim y$, jos ja vain jos $y\in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{n}x$, missä $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{n}x$ tarkoittaa X:n suurinta yhtenäistä osajoukkoa, johon $x$ kuuluu. Tämä on selvästikin ekvivalenssirelaatio. Varustetaan avaruus $X/\sim$ tekijätopologialla, toisin sanoen karkeimmalla topologialla, jossa kuvaus $m:x\mapsto \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{n}(x)$ on jatkuva. Melko vähällä vaivalla voidaan osoittaa, että $X/\sim$ on täysin epäyhtenäinen. Myös seuraava tulos on yleispätevä: jos X\rightarrow Y on jatkuva kuvaus täysin epäyhtenäiseen avaruuteen Y, se voidaan yksikäsitteisellä tavalla esittää yhdistettynä kuvauksena $f=\breve{f}\circ m$, missä $\breve{f}:(X/\sim )\to Y$ on jatkuva.

Lähteet

• Malline:Kirjaviite