Tapahtumien riippuvuus

Tapahtumien riippuvuus on todennäköisyyslaskennassa peruskäsite, jossa saman satunnaisilmiön perusjoukossa $\mathrm{\Omega }$ kahden tapahtuman todennäköisyydet riippuvat toisistaan. Näiden todennäköisyydet tulee määrittää käyttäen ehdollista todennäköisyyttä. Mikäli tapahtumien todennäköisyydeksi tulee sama tulos kuin ilman ehdollista todennäköisyyttä, ovat tapahtumat riippumattomia. Riippumattomuutta voidaan merkitä käyttämällä merkkiä $\perp .$

Riippuvuus

Riippuvien tapahtumien todennäköisyyksiin käytetään ehdollista todennäköisyyden käsitettä. Riippuvuuden määrä on usein tuntematon, joten se huomioidaan laskemalla erikseen riippuvien tapahtumien todennäköisyydet, jolloin yhteisestä todennäköisyydestä tulee

$P(A\text{ ja }B)=P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=P(A|B)\cdot P(B).$ (riippuvien tapahtumien kertolaskusääntö)

Kaksi jälkimmäistä laskutapaa voidaan käyttää toistensa vaihtoehtoina.

Usean riippuvan tapahtuman todennäköisyys

Kun tarkastellaan kolmea tapahtumaa, jotka riippuvat toisistaan, voidaan laskea yhteinen todennäköisyys

$P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B|A)\cdot P(C|A\cap B),$

mikäli molemmat ehdolliset todennäköisyydet ovat olemassa. Useammassa tapahtumassa ehdollisia todennäköisyyksiä tulee huomioida enemmän. Jos tapahtumat ovat $A_1,A_2,...,A_n$, saadaan

$P(A_1\cap A_2\cap ...\cap A_n)=P(A_1)\cdot P(A_2|A_1)\cdot \cdot \cdot P(A_n|A_1\cap ...\cap A_{n-1}).$

Riippumattomuus

Määritelmä: kaksi riippumatonta tapahtumaa

Kaksi tapahtumaa $A$ ja $B$ ovat riippumattomia eli $A\perp B$, jos ja vain jos ne toteuttavat todennäköisyyden kertolaskusäännön

$P(A\text{ ja }B)=P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).$ (riippumattomien tapahtumien kertolaskusääntö)

Riippumattomassa tapauksessa ehdolliset todennäköisyydet ovat samat kuin yksittäiset todennäköisyydet (vertaa riippuvat tapaukset) eli

$P(A|B)=P(A)$

ja

$P(B|A)=P(B).$

Vastatapahtumien riippumattomuus

Jos tapahtumat $A$ ja $B$ ovat riippumattomia, niin silloin ovat myös $\overline{A}\perp B$, $A\perp \overline{B}$ sekä $\overline{A}\perp \overline{B}$ riippumattomia, missä viivalla merkityt ovat tapahtumien vastatapahtumat.

Kolmen tapahtuman riippumattomuus

Tapahtumat $A$, $B$ ja $C$ voivat olla pareittain riippumattomat. Tämä ei tee kaikkia kolmea tapahtumaa keskenään riippumattomiksi, vaan myös kolmen tapauksen todennäköisyyksien tulo on oltava tapahtumista riippumaton. Kolmen tapahtuman riippumattomuuteen vaaditaankin neljä ehtoa:

$A\perp B\iff P(A\cap B)=P(A)P(B)$

$A\perp C\iff P(A\cap C)=P(A)P(C)$

$B\perp C\iff P(B\cap C)=P(B)P(C)$

$P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C)$

Riippumattomuus toteutuu vastavasti useammalle tapahtumalle.

Usean riippumattoman tapahtuman todennäköisyys

Kolmen riippumattoman tapahtuman yhteinen todennäköisyys on

$P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B)\cdot P(C),$

ja usean riippumattomien tapahtumien $A_1,A_2,...,A_n$ yhteinen todennäköisyys on

$P(A_1\cap A_2\cap ...\cap A_n)=P(A_1)\cdot P(A_2)\cdot \cdot \cdot P(A_n).$