Erilliset tapahtumat

Erilliset tapahtumat eli toisensa poissulkevat tapahtumat on todennäköisyyslaskennan peruskäsite. Kukin tarkasteltava tapahtuma muodostuu satunnaisilmiön alkeistapauksista $\omega$, joita voi olla vain satunnaisilmiön perusjoukkoon $\mathrm{\Omega }$ kuuluvat alkeistapaukset. Alkeistapauksella $\omega \in \mathrm{\Omega }$ on kolme vaihtoehtoa: se kuuluu tapahtumaan $A\subseteq \mathrm{\Omega }$ tai tapahtumaan $B\subseteq \mathrm{\Omega }$ tai ei kumpaakaan $\mathrm{\Omega }\setminus (A\cup B)$. Jos alkeistapaus $\omega$ kuuluu sekä tapahtumaan $A$ että $B$, eivät tapahtumat ole erilliset niiden yhteisen alkeistapauksen vuoksi. Ellei tapahtumilla ole yhtään yhteistä alkeistapausta, ovat ne erilliset tapahtumat.

Yhteenlaskusäännöt

Kaksi tapahtumaa

Mikäli tapahtumat $A$ ja $B$ ovat erilliset, saadaan todennäköisyys sille, että alkeistapaus kuuluu yhdistettyyn tapahtumaan

$P(A\text{ tai }B)=P(A\cup B)=P(A)+P(B).$ (erillisten tapahtumien yhteenlaskusääntö)

Jos tapahtumat eivät ole täysin erilliset, tulee vastaava todennäköisyys laskea

$P(A\text{ tai }B)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B),$ (yleinen yhteenlaskusääntö)

missä erotuksessa on huomioitu yhteiset alkeistapaukset $P(A\cap B)$ vähentämällä ne kertaalleen pois. Muuten ne olisi huomioitu kummankin tapahtuman todennäköisyydessä kaksi kertaa.

Eksklusiivinen tai eroaa inklusiivisesta taista, joka käsiteltiin juuri edellä, siinä, että nyt tai tarkoittaa vain jompaakumpaa tapahtumaa. Yhdistetty tapahtuma ei silloin sisällä alkeistapauksia, jotka kuuluvat kumpaankin tapahtumaan. Jos tapahtumat ovat erillisiä, tulee todennäköisyys laskea erillisten tapahtumien yhteenlaskusäännöllä, mutta jos ne eivät ole erilliset, lasketaan todennäköisyys

$P(A\text{ tai }B)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)-2P(A\cap B).$

Erotuksessa poistetaan yhteiset alkeistapaukset kahdesti, mikä varmistaa niiden puuttumisen yhdistetystä todennäköisyydestä.

Useita tapahtumia

Kun tarkastelussa on useita tapahtumia $A_1,A_2,\dots ,A_n$, on erillisyyskysymys mutkikkaampi. Niiden tapahtumien kesken, jotka ovat erillisiä keskenään, lasketaan todennäköisyys

$P(\bigcup _{i=1}^n{A}_i)=P(A_1)+P(A_2)+\dots +P(A_n).$

Niiden tapahtumien kesken, jotka eivät ole erillisiä keskenään, lasketaan todennäköisyys yleisen unionin avulla

$P(\bigcup _{i=1}^n{A}_i)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)-\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}P(A_i\cap A_j).$

Katso myös

• Vastatapahtuma ja tapahtuma ovat aina erilliset tapahtumat