Dedekindin zeetafunktio

Malline:Lähteetön Matematiikassa algebrallisen lukukunnan Dedekindin zeetafunktio ζ_K(s) on yleistys Riemannin zeeta-funktiosta, joka on erikoistapaus jolloin K on rationaalilukujen joukko Q. Dedekindin zeetafunktiolla on paljon yhteistä Riemannin zeetafunktion kanssa: se määritellään Dirichlet'n sarjana, se voidaan kirjoittaa Eulerin tulona, sillä on funktionaaliyhtälö, se voidaan jatkaa analyyttisesti meromorfiseksi funktioksi kompleksitasoon C yksinkertaisella navalla arvolla s = 1. Se antaa aritmeettista informaatiota kunnasta K. Laajennettu Riemannin hypoteesi sanoo että jos ζ_K(s) = 0 ja 0 < Re(s) < 1, niin Re(s) = 1/2.

Zeetafunktio on nimetty Richard Dedekindin mukaan.

Määritelmä

Olkoon K algebrallinen lukukunta. Tällöin sen Dedekindin zeetafunktio kompleksiluvuille s niin että Re(s) > 1 määritellään Dirichlet'n sarjana

${\zeta }_K(s):=\sum _{𝔞}{𝔑(𝔞)}^{-s}$

missä $𝔞$ kulkee kaikkien kunnan $K$ kokonaislukuideaalien läpi ja $𝔑(𝔞)$ on niiden absoluuttinormi. Se voidaan kirjoittaa Eulerin tulona

${\zeta }_K(s)=\prod _{𝔭}\frac{1}{1-{𝔑(𝔭)}^{-s}}$

missä $𝔭$ kulkee kaikkien kunnan $K$ alkuideaalien yli.