Genus (matematiikka)

Mukin pinnan genus on yksi, kuin myös toruksen.

Genus on topologiassa pinnan niin sanottujen kahvojen lukumäärä. Genus on siis kokonaisluku, joka kertoo montako erillistä silmukkaa myöten pinnan voi leikata auki niin että se pysyy yhtenäisenä.

• 
  genus 0
• 
  genus 1
• 
  genus 2
• 
  genus 3

Määritelmä

Seuraavat määritelmät aritmeettiselle ja geometriselle genukselle löytyvät Qing Liun kirjasta "Algebraic Geometry and Arithmetic Curves":

Olkoon $X$ projektiivinen käyrä yli algebrallisesti suljetun kunnan $k$. Tällöin $X$:n aritmeettinen genus on määritellään Eulerin karakteristikan avulla

$p_a(X):=1-{\chi }_k({𝒪}_X),$

joka riippuu $k$:sta. Jos $Y$ on sileä projektiivinen varisto yli $k$:n, niin $Y$:n geometrinen genus on

$p_g(Y)={\dim }_k{H}^0(y,{\omega }_{Y/k}),$ missä $\omega$ on dualisoituva (tai kanoninen) lyhde ja $H^0$ tarkoittaa ${\omega }_{Y/k}$:n nollatta Čechin kohomologiaryhmää.

Yleisesti ei-algebrallisesti suljetussa kunnassa $k$ määritellään korkeampiuloitteisten ja ei-jaottoman variston aritmeettinen genus asettamalla

$p_a(X):=(-1{)}^{\dim X}(\chi (X,{𝒪}_X)-1),$

missä $\chi$ on rakennelyhteen Eulerin–Poincarén karakteristika.

Kun X on algebrallinen käyrä, jonka kuntana on kompleksiluvut, ja X:llä ei ole singulaarisia pisteitä, molemmat määritelmät kuvaavat pinnan kahvojen lukumäärää. Sen sijaan yleisessä tapauksessa aritmeettinen genus voi olla myös negatiivinen luku.