Suppenemistestit

Suppenemistestit ovat ehtoja, joiden avulla voidaan osoittaa sarjan suppeneminen tai hajaantuminen.

Suppenemistestejä

Majorantti- ja minoranttiperiaate

Olkoon $0\le x_k\le y_k$ kaikilla $k\in$ $\mathbb{N}$. Tällöin

• Jos sarja $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_k$ suppenee, niin sarja $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k$ suppenee (majoranttiperiaate).
• Jos sarja $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k$ hajaantuu, niin sarja $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_k$ hajaantuu (minoranttiperiaate).

Vertailutesti

Oletetaan, että $x_k>0$ ja $y_k>0$ kaikilla $k\in$ $\mathbb{N}$, ja että raja-arvo $L:=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_k}{y_k}$ on olemassa. Tällöin

• Jos $L\in ]0,\mathrm{\infty }[$, niin sarja $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k$ suppenee, jos ja vain jos $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_k$ suppenee.
• Jos $L=0$ ja sarja $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_k$ suppenee, niin myös $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k$ suppenee.
• Jos $L=\mathrm{\infty }$ ja sarja $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_k$ hajaantuu, niin myös $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k$ hajaantuu.

Juuritesti

Olkoon $x_k\ge 0$ kaikilla $k\in$ $\mathbb{N}$.

• Jos on olemassa $k_0$ $\in$ $\mathbb{N}$ ja vakio $q<1$ siten, että $\sqrt[k]{x_k}\le q$ kaikilla $k\ge k_0$, niin sarja $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k$ suppenee.

• Jos on olemassa $k_0$ $\in$ $\mathbb{N}$ ja vakio $q>1$ siten, että $\sqrt[k]{x_k}\ge q$ kaikilla $k\ge k_0$, niin sarja $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k$ hajaantuu.

• Jos raja-arvo $L:=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[k]{x_k}$ on olemassa, niin sarja $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k$
  • suppenee, jos $L<1$
  • hajaantuu, jos $L>1$.

Osamäärätesti

Olkoon $x_k\ne 0$ kaikilla $k\in$ $\mathbb{N}$.

• Jos on olemassa $k_0$ $\in$ $\mathbb{N}$ ja vakio $q<1$ siten, että $\left|\frac{x_{k+1}}{x_k}\right|\le q$ kaikilla $k\ge k_0$, niin sarja $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k$ suppenee.
• Jos on olemassa $k_0$ $\in$ $\mathbb{N}$ ja vakio $q>1$ siten, että $\left|\frac{x_{k+1}}{x_k}\right|\ge q$ kaikilla $k\ge k_0$, niin sarja $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k$ hajaantuu.
• Jos raja-arvo $L:=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{x_{k+1}}{x_k}\right|$ on olemassa, niin sarja $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k$
  • suppenee, jos $L<1$
  • hajaantuu, jos $L>1$.

Integraalitesti

Olkoon $f:[1,\mathrm{\infty }[⟶[0,\mathrm{\infty }[$ vähenevä funktio, joka on integroituva jokaisella välillä $[1,a],a>1$. Merkitään $x_k=f(k)$ kaikilla $k\in \mathbb{N}$.

Tällöin sarja $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$ suppenee, jos ja vain jos epäoleellinen integraali $\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ suppenee.

Esimerkkejä

• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{k+1}{k(k+2)}$ hajaantuu, koska $\frac{k+1}{k(k+2)}:\frac{1}{k}=\frac{k+1}{k+2}⟶1$, kun $k⟶\mathrm{\infty }$, ja $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}$ hajaantuu (vertailutesti).

• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ ${(\frac{1}{2}+\frac{1}{k})}^k$ suppenee, koska $\sqrt[k]{{(\frac{1}{2}+\frac{1}{k})}^k}$ $=\frac{1}{2}+\frac{1}{k}⟶\frac{1}{2}$ kun $k⟶\mathrm{\infty }$ (juuritestin raja-arvomuoto).

Lähteet

• Jussi Väisälä, Hannu Honkasalo, Lauri Myrberg, Jouni Kankaanpää: Differentiaali- ja integraalilaskenta 1.2
• Lauri Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten, osa 2, 1.–2. painos, 1978
• Courant, Richard & John, Fritz: Introduction to Calculus and Analysis I, s. 520–522. Springer-Verlag, 1965. Malline:ISBN.