Kosketuspiste

Topologisen avaruuden $X$ osajoukon $A$ kosketuspisteellä tarkoitetaan sellaista topologisen avaruuden $X$ pistettä $x$, että kaikki $x$:n ympäristöt $U$ sisältävät ainakin yhden $A$:han kuuluvan pisteen. Formaalisti: $x\in X$ ja $A\subset X$ siten, että kaikilla $x$:n ympäristöillä $U$ pätee $U\cap A\ne \mathrm{\varnothing }$. Pisteen $x$ ei ole välttämätöntä kuulua $A$:han.

Minkä tahansa osajoukon jokainen piste on samalla sen kosketuspiste, koska se kuuluu jokaiseen ympäristöönsä. Lisäksi joukon A kosketuspisteitä ovat kaikki joukon reunapisteet, jotka kuitenkin voivat joko kuulua tai olla kuulumatta A:han.

A:n kosketuspisteiden joukkoa sanotaan A:n sulkeumaksi:

$\bar{A}=\{x\in X:xonA:nkosketuspiste\}$

Jokainen joukko $A$ on siis sulkeumansa osajoukko: $A\subset \bar{A}$. Jos joukon A kaikki kosketuspisteet kuuluvat A:han eli A on itsensä sulkeuma, A on suljettu joukko, $A=\bar{A}$.

Sulkeumaa A saatetaan merkitä myös muilla tavoin: cl(A), Cl(A) tai $A^{-}$.

Esimerkkejä

• Avoimen välin ]a,b[ kosketuspisteitä ovat kaikki välillä olevat pisteet sekä myös sen päätepisteet a ja b, vaikka ne eivät kuulu avoimeen väliin.

• Cl ([0,1[) ∩ Cl (]1,2]) = [0,1] ∩ [1,2] = {1}

• Cl ([0,1[ ∩ ]1,2]) = Cl ($\varnothing$) = $\varnothing$.

Kasautumispiste

Joukon A kasautumispiste on piste x, jonka jokainen ympäristö sisältää x:n lisäksi jonkin muunkin A:han kuuluvan pisteen. Jokainen kasautumispiste on siis samalla kosketuspiste, mutta joukolla saattaa olla myös erakkopisteitä, jotka kuuluvat joukkoon ja ovat myös sen kosketuspisteitä, mutta eivät kasautumispisteitä.

Lähteet

• Malline:Kirjaviite
• Malline:Kirjaviite

Kirjallisuutta

• Malline:Kirjaviite