Brocardin pisteet

Kolmion Brocardin piste saadaan kolmen ympyrän leikkauspisteestä. Kukin ympyrä sivuaa kolmion sivua tangentiaalisesti.

Brocardin pisteet liittyvät geometriassa kolmioihin. On osoitettu, että jokaisessa kolmiossa voidaan piirtää kolmion kärjistä ceviaanit, jotka leikkaavat toisensa yhteisessä pisteessä ja samalla erkanevat samankätisestä sivusta saman suuruisen Brocardin kulman $\omega$ verran. Kulman $\omega$ suuruus riippuu kolmion kulmista. Jos ceviaanit erkanevat kulman oikeasta vai vasemmasta kyljestä, kutsutaan leikkauspisteitä vastaavasti Ensimmäiseksi- (merkitään $\mathrm{\Omega }$) tai Toiseksi Brocardin pisteeksi (merkitään ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }$). Brocardin pisteet ovat kolmion sisäpisteitä, mutta ne eivät kuulu kolmion merkillisiin pisteisiin niin sanotun symmetrian puutteen vuoksi.. Pisteet on nimetty ranskalaisen matemaatikon Henri Brocardin (1845−1922) mukaan.

Brocardin kulma on kuvassa valittu alkamaan kolmion kulman oikeasta kyljestä. Saatu leikkauspiste on silloin ensimmäinen Brocardin piste.

Kolmion ABC sivut merkitään a, b ja c. On olemassa täsmälleen yksi piste $\mathrm{\Omega }$, jolle janat $A\mathrm{\Omega }$, $B\mathrm{\Omega }$ ja $C\mathrm{\Omega }$ muodostavat saman kulman $\omega$, sivujen c, a ja b kanssa, eli

$\mathrm{\angle }\mathrm{\Omega }AB=\mathrm{\angle }\mathrm{\Omega }BC=\mathrm{\angle }\mathrm{\Omega }CA=\omega .$

Ceviaanin ja kolmion sivun välinen kulma voidaan valita kahdella tavalla. Kun käytetään ceviaanin ja kulman oikean kyljen välistä kulmaa (katso animaatiota), saadaan leikkauspisteeksi ensimmäinen Brocardin piste ja kun käytetään kulmassa vasenta kylkeä saadaan toinen Brocardin piste. Ne ovat toistensa isogonaalisia konjugaatteja.

Brocardin kulma

Brocardin kulma ensimmäiselle- ja toiselle Brocardin pisteelle ovat aina samat. Kulman suuruus riippuu kolmion muodosta, mutta se on sellainen, että Brocardin pisteet ovat kolmion sisäpiste.

Jos kolmion kulmat ovat $\alpha ,\beta$ ja $\gamma$, saadaan Brocardin kulmaksi $\omega$

$\cot \omega =\cot \alpha +\cot \beta +\cot \gamma$

tai jos kolmion sivut ovat $a,b$ ja $c$ sekä kolmion pinta-ala $A$, saadaan

$\cot \omega =\frac{a^2+b^2+c^2}{4A}.$

Ensimmäinen Brocardin piste

Brocardin ensimmäinen- ja toinen piste sekä Brocardin keskipiste.

Ensimmäinen Brocardin piste (merkitään usein $\mathrm{\Omega }$, joskus myös ${\tau }_1$ tai $Z_1$) muodostuu ceviaaneista, joiden Brocardin kulma mitataan kolmion kulman oikeasta kyljestä. Pisteen trilineaariset koordinaatit ovat

$\frac{c}{b}:\frac{a}{c}:\frac{b}{a}$.

Toinen Brocardin piste

Toisen Brocardin pisteen (merkitään ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }$, joskus myös ${\tau }_2$ tai $Z_2$) kulma mitataan kolmion kulmien oikeasta kyljestä. Toisen pisteen trilineaariset koordinaatit ovat

$\frac{b}{c}:\frac{c}{a}:\frac{a}{b}$.

Brocardin keskipiste

Brocardin keskipiste (merkitään joskus $M$) sijaitsee ensimmäisen- ja toisen Brocardin pisteen yhdistävän janan keskipisteessä. Toisin kuin kaksi ensimmäistä Brocardin pistettä, Brocardin keskipiste on kolmion merkillinen piste ja tunnetaan Kimberlingin merkinnällä $X_{39}$.

Keskipisteen trilineaariset koordinaatit ovat

$a(b^2+c^2):b(c^2+a^2):c(b^2+c^2)=\sin (\alpha +\omega ):\sin (\beta +\omega ):\sin (\gamma +\omega ),$

missä $\omega$ on Brocardin kulma. Pisteen barysentriset koordinaatit ovat

$a^2(b^2+c^2):b^2(c^2+a^2):c^2(b^2+c^2).$

Konstruktio ympyröillä

Brocardin piste sijaitsee sellaisessa kolmion sisäpisteessä, että sen pisteen ja kolmion sivujen päätepisteiden kautta kulkevat ympyrät sivuavat kukin aina yhtä sivua tangenttiaalisesti. Kehäkulmalauseella voidaan osoittaa, että kaarta vastaan oleva kehäkulma on yhtä suuri kuin kaaren päätepisteessä olevan tangentin ja kaaren jänteen välinen kulma. Piirtämiseen tarvitaan suora kulma ja harppi.

Ensimmäisen Brocardin pisteen konstruointi aloitetaan valitsemalla kolmion sivu, johon piirretään kaksi normaalia. Sivun vasempaan päätepisteeseen on määritelty Brocardin kulma, joten piirrettävän ympyrän tangentiaalinen piste sijaitsee sivun oikeassa päätepisteeseessä. Siihen piirretään normaali, joka on kohtisuorassa viereiseen sivuun nähden. Sivulle piirretään myös keskinormaali, joka leikaa ensimmäistä normaalia. Harpilla piirretään ympyrä, joka kulkee sivun päätepisteiden kautta. Muille sivuille muodostetaan omat ympyrät samalla tavalla. Ympyrät leikkaavat yhteisessä pisteessä, joka on ensimmäinen Brocardin piste.

Toinen Brocardin toinen piste sijaitsee kolmen ympyrän leikkauspisteessä, joka muodostetaan peilikuvamaisesti. Ympyrät sivuavat tangentiaalisesti viereistä sivua nyt sivun vasemmassa päätepisteessä, koska Brocardin kulma on sivun toisessa päässä.

• 
  Kehäkulma $\alpha$ (vihreä) on yhtä suuri kuin jänteen ja tangentin välinen kulma.
• 
  Ensimmäinen Brocardin piste
• 
  Ensimmäinen Brocardin piste
• 
  Toinen Brocardin piste

Brocardin ympyrä

Brocardin ympyrän (Malline:K-en), joka tunnetaan myös seitsemän pisteen ympyränä (Malline:K-en), halkaisijan muodostaa jana $OK$, jonka päätepisteitä ovat ulkoympyrän keskipiste $O$ ja symmediaaninen piste $K$.

Halkaisijan keskipiste on samalla Brocardin ympyrän keskipiste (Kimberlingin merkillinen piste $X_{182}$). Ympyrän säde voidaan laskea usealla tavalla. Kun merkitään kolmion sivut ja kolmion ympäröivän ympyrän säde sekä Brocardin kulma kirjaimilla $a,b,c,R$ ja $\omega$, saadaan säteelle lausekkeet

$R_B=R\sqrt{(a^4+b^4+c^4)-(a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2)}=\frac{R\sqrt{1-4{\sin }^2\omega }}{2\cos \omega }.$

Ympyrän kehällä olevia pisteitä ovat ainakin

• molemmat Brocardin pisteet $\mathrm{\Omega }$ ja ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }$, jotka sijaitsevat Brocardin janan suhteen symmetrisesti
• Kolmion keskinormaalien leikkauspiste $O$ eli $X_3$
• symmediaaninen piste $K$ eli $X_6$
• kaksi muuta merkillistä pistettä (Kimberlingin merkintä $X_{1083}$ ja $X_{1316}$)
• nimensä mukaan vielä yksi tunnettu merkillinen piste.

• 
  Brocardin ympyrä. Sy merkitsee symmediaanista pistettä ja Cc keskinormaalien leikkauspiste.

Brocardin kolmiot

Ensimmäinen Brocardin kolmio

Ensimmäinen Brocardin kolmio syntyy Brocardin ympyrään siten, että ceviaanit, jotka kulkevat ensimmäisen Brocardin pisteen kautta, leikkaavat ympyrän kolmessa pisteessä. Ceviaanit, jotka kulkevat toisen Brocardin pisteen kautta, leikkaavat saman ympyrän samoissa pisteissä. Kolmio syntyy, kun nämä kolme pistettä yhdistetään janoilla, ja se on käänteisesti yhdenmuotoinen referenssikolmion kanssa. Käänteisesti yhdenmuotoiset monikulmioiden kulmat ovat samat, mutta esiintyvät käänteisessä järjestyksessä.

Kun referenssikolmion kärjistä piirtää sitä ympäröivälle ympyrälle suorat, jotka ovat ensimmäisen Brocardin kolmion sivujen suuntaisia, leikkaavat ne ympyrän kehällä yhteisessä pisteessä. Pistettä kutsutaan Steinerin pisteeksi ja se on eräs kolmion merkillinen piste (Kimberlingin merkinnöin $X_{99}$).

Koska Brocardin kolmio on yhdenmuotoinen referenssikolmionsa kanssa, voidaan sivujen pituudet ja pinta-ala laskea ketoimen $\sigma$ avulla:

$a^{\prime }=\sigma a$

$b^{\prime }=\sigma b$ ja

$c^{\prime }=\sigma c$

sekä

$A^{\prime }={\sigma }^{2}A,$

missä

$\sigma =\frac{\sqrt{a^4-a^2{b}^2+b^4-a^2{c}^2-b^2{c}^2+c^4}}{a^2+b^2+c^2}.$

Referenssikolmion painopiste (Kimberlingin merkinnöin $X_2$) on yhteinen Brocardin kolmion painopisteen kanssa ja symmediaaninen piste on Brocardin kolmion Steinerin piste.

Toinen Brocardin kolmio

Toinen Brocardin kolmio syntyy kuuden ympyrän kaarista, jotka kulkevat sivun päätepisteiden ja toisen Brocardin pisteen kautta. Samasta kolmion kärjestä erkanevat ja eri Brocardin pisteen kautta kulkevat ympyrät leikkaavat toisensa yhdessä toisen Brocardin kolmion kärjessä. Toinen tapa konstruoida tämä kolmio on piirtää ceviaanit symmediaaniseen pisteeseen, jolloin ceviaanien ja Brocardin ympyrän leikkauspisteet muodostavat toisen Brocardin kolmion kärjet. Tämä kolmio ei ole yhdenmuotoinen referenssikolmion kanssa. Sen keskinormaalien leikkauspiste $X_3$ on referenssikolmion Brocardin ympyrän keskipiste $X_{182}$.

Jos referenssikolmiolle piirtää ulkoympyrän ja jatkaa symmediaaniselle pisteelle $K$ piirrettyjä ceviaaneja ulkoympyrälle saakka, sijaitsevat toisen Brocardin kolmion kärjet näiden jatkettujen ceviaanien keskipisteissä.

On olemassa myös kolmas- ja neljäs Brocardin kolmio.

Aiheesta muualla

• Kimberling; Clark: Central Points and Central Lines in a Plane of a Triangle, Mathematical Magazine, vol 67, issue 3, s. 163–187, myös täälläMalline:Vanhentunut linkki.
• Kimberling; Clark: Triangle Centers as Functions, Rocky Mountain Journal of Mathematics, 23/1993, (s.1269–1286)
• De punten van Brocard
• Pamfilos, Paris: Brocard points, Brocard angle, Kreetan yliopisto
• Pamfilos, Paris: Second Brocard Triangle, Kreetan yliopisto
• Pamfilos, Paris: Brocard ellipse, Kreetan yliopisto
• Pamfilos, Paris: Median triangle, Kreetan yliopisto
• Pamfilos, Paris: Rotating triangle's sides about their middle, Kreetan yliopisto
• Pamfilos, Paris: Yagci's problem, Kreetan yliopisto