−1 (luku)

−1 on matematiikassa negatiivinen kokonaisluku, joka on suurempi kuin −2 ja pienempi kuin 0. Se on siis suurin negatiivinen kokonaisluku.

Luku −1 on luvun 1 vastaluku, jolloin $-1+1=1+(-1)=0$.

Luku −1 saadaan myös Eulerin yhtälöstä, kun $\theta =\pi$: $e^{i\pi }=-1$.

Algebrallisia ominaisuuksia

Kun jokin luku kerrotaan −1:llä, luvun etumerkki vaihtuu:

$(-1)\cdot x=-x.$

Toisin sanoen luku muuttuu vastaluvukseen, kun se kerrotaan luvulla −1.

Kun luku −1 kerrotaan itsellään saadaan 1: $(-1)(-1)=1$. Tämä on toinen tapa sanoa, että luku 1 on luvun −1 vastaluku.

Kokonaislukupotenssit

Kun luku −1 korotetaan parilliseen kokonaislukupotenssiin saadaan arvo 1: $(-1{)}^{2n}=1,n=0,\pm 1,\pm 2,\dots$. Korotettaessa lukua parittomaan kokonaislukupotenssiin saadaan arvo −1: $(-1{)}^{2n+1}=-1,n=0,\pm 1,\pm 2,\dots$.

On määritelty, että x⁻¹ = 1/x, mikä tarkoittaa sitä, että luvun korottaminen potenssiin −1 on sama kuin luvun muuttaminen käänteisluvukseen. Luku –1 on itsensä käänteisluku:

$(-1{)}^{-1}=\frac{1}{-1}=\frac{(-1)1}{(-1)(-1)}=\frac{-1}{1}=-1$

Murtopotenssit: yhteys kompleksilukuihin

Kompleksilukujen teoriassa imaginaariyksikkö i on määritelty luvun −1 avulla:

$i^2=-1$.

Toisin sanoen, vaikka luvulla -1 ei ole neliöjuurta reaalilukujen joukossa, sille voidaan määritellä neliöjuuri $\sqrt{(-1)}=(-1{)}^{\frac{1}{2}}=i$. Tämä johtaa kuntalaajennokseen: reaaliluvuista kompleksilukuihin.

Luku −1 liittyy Eulerin identiteettiin, sillä $e^{i\pi }=-1.$ Identiteetistä seuraa, että reaalilukupotenssiin korotus tuottaa yleisesti kompleksiluvun (jonka itseisarvo on 1):

$(-1{)}^x=(e^{i\pi }{)}^x=e^{i\pi x}=\cos (x\pi )+i\sin (x\pi )$

Esimerkiksi jos taskulaskimessa ei ole kompleksilukumoodia, niin laskutoimitus $(-1{)}^{1,23}$ ei onnistu.

Esimerkki käytöstä

Luvun −1 avulla voidaan mallintaa esim. jaksollista binääristä lukujonoa b(n), n = 0, 1, 2, …

Jono 0 1 0 1 0 1 ... saadaan aikaan mallilla

$b(n)=\frac{1}{2}[1-(-1{)}^n]$

Tilanmuutosten taajuutta voidaan säätää jakamalla indeksi n ja ottamalla lopputuloksesta kokonaislukuosa lattia-funktiolla. Esim. jono 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1… saadaan mallilla

$b(n)=\frac{1}{2}[1-(-1{)}^{\lfloor \frac{n}{3}\rfloor }]$

Jonon vaiheeseen voidaan vaikuttaa sijoittamalla indeksin n paikalle suurennettu tai pienennetty arvo, esimerkiksi

$b(n)=\frac{1}{2}[1-(-1{)}^{\lfloor \frac{n+1}{3}\rfloor }]$

tuottaa jonon 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0…