Hypergeometrinen sarja

Malline:LähteetönHypergeometrinen sarja on potenssisarja, jonka peräkkäisten kertoimien suhde on rationaalifunktio. Jos sarja suppenee, sen summaa kutsutaan hypergeometriseksi funktioksi. Hypergeometriset funktiot ovat monia funktioluokkia yhdistävä konsepti: muun muassa gammafunktio, virhefunktio, Besselin funktiot ja ortogonaaliset polynomit ovat niiden erikoistapauksia.

Tavallisin hypergeometrinen funktio on ${}_2{F}_1$, joka määritellään hypergeometrisena sarjana

${}_2{F}_1(a,b;c;x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_n(b{)}_n}{(c{)}_n}\frac{x^n}{n!}$

eli aukikirjoitettuna

${}_2{F}_1(a,b;c;x)=1+\frac{a\cdot b}{1\cdot c}x+\frac{a(a+1)b(b+1)}{1\cdot 2c(c+1)}{x}^2+\frac{a(a+1)(a+2)b(b+1)(b+2)}{1\cdot 2\cdot 3c(c+1)(c+2)}{x}^3+\dots$,

mikä suppenee välillä $-1<x<1$, jos a, b ja c ovat reaalisia ja jos $c-(a+b)>-1$. Ylempänä olevassa summamerkinnässä esiintyvä lyhennysmerkintä (k)_n= k(k+1)(k+2)...(k+n-1) on Pochhammerin symboli. Hypergeometrinen funktio $y(x)={}_2{F}_1(a,b;c;x)$ toteuttaa hypergeometrisen differentiaaliyhtälön

$x(x-1)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+[c-(a+b+1)x]\frac{dy}{dx}-aby=0$.

Tämä on hyvin yleinen tapaus 2. kertaluvun differentiaaliyhtälöstä ja asettamalla parametrien arvoja sopivasti, tästä yhtälöstä saadaan erikoistapauksina monet "tavallisemmat" differentiaaliyhtälöt.